[Citat]

(Mai bine zis, cele patru puncte se afla la aceeasi distanta fata de cerc.)

Sa zicem ca avem in mana un astfel de cerc (K)
(am nevoie de o litera noua, iau K de la germanul Kreis)
astfel incat distantele

d( A, K ) = min( d(A,X) : X punct pe K )
d( B, K )
d( C, K )
d( D, K )

sunt egale. Ne uitam mai intai cate sunt in interiorul lui K si cate in exterior.
Avem combinatiile (interior + exterior)
0 + 4
1 + 3
2 + 2
3 + 1
4 + 0
dintre care pe cele cu 0 le excludem, altfel punctele sunt conciclice.

Problema se termina cu urmatoarele observatii:

Pentru fiecare alegere de
1 punct + restul
2 puncte + restul
3 puncte + restul
avem cel mult un cerc. In cazul in care avem 1+3 = 3+1 acest "cel mult un" cerc exista si este unic, se construieste asa. Luam cercul prin cele 3, trasam un cerc concentric ce trece prin al patrulea, luam cercul concentric cu raza media celor doua deja trasate...
Acest cerc determina de fapt daca avem punctele in interior / exterior, de aceea cele doua cazuri 1 + 3 si 3 + 1 trebuie vazute ca unul la numaratoarea combinatoriala de la sfarsit. (Mi-a fost mai usor in prezentare sa ma leg de interior / exterior.)

In cazul 2+2 avem cel mult un cerc, centrul lui este intersectia mediatoarelor celor doua segmente, asta daca ele se intersecteaza.
(Daca se intersecteaza, se intersecteaza in exact un punct, altfel ABCD pe un cerc.)

De aici cred ca problema nu mai trebuie dusa la capat.

Multumesc! (RazzvY si dl. Gauss)