Construiti numai cu rigla o paralela la bazele unui trapez care sa fie impartita de diagonale in trei segmente congruente.

Fie trapezul ABCD (AB||CD), O punctul de intersectie a diagonalelor si E punctul de intersectie a laturilor neparalele AD si BC. Ducem dreapta EO, care intersecteaza AB in F si CD in G. Se stie ca punctele F si G sunt mijloacele bazelor. AG intersecteaza BD in M, iar BG intersecteaza AC in N. Vom demonstra ca MN este paralela cu AB.
In triunghiul ABG aplicam teorema lui Ceva:

. Cum

rezulta

si din reciproca lui Thales rezulta ca MN||AB.
MN intersecteaza AD in P, iar BC in Q. Aratam ca PM=MN=NQ.
Din perechile de triunghiuri asemenea DPM si DAB,DBG si MBN, GMN si GAB rezulta

. Rezulta

. Analog

.
DF intersecteaza AC in

, iar CF intersecteaza BD in

. In mod analog se arata ca

. Fie

si

punctele in care

intersecteaza AD, respectiv BC. Se arata, ca mai sus, ca

.
Deci problema are doua solutii.

Iata si figura corespunzatoare celei de a doua solutii. Punctele

,

,

si

pot fi miscate cu mouse-ul. Numerele dintre paranteze corespund constructiei prezentate de reddog ( in ordine "cronologica" )

BRICI...!