a) Fie a0,a1,a2,...,an numere din R,x0 apartine multimii R, an<>0,fixate .Sa se arate ca exista si este unica functia polinomiala f de grad n pentru care f(x0)=a0
f derivat(x0)=a1, f dubluderivat (x0)=a2;... f devivat de n ori(x0)=an

b)Demonstrati formula lui Newton (1+x)^n = suma(de la k=1 la n de) (combinari de n luate cate k)* x^k ,x apartine de R,n numar natural.

La punctul a) am reusit sa demnstrez existenta,mai am nevoie de ajutor cu unicitatea si la b) banuiesc ca se foloseste a) dar nu mi-ai dat seama num,astept metode sau idei de rezolvare. Multumesc anticipat .

Sa rezolvam impreuna atunci punctul (a) pentru un polinom care arata asa:

f(x) = Px² + Qx + R,
P, Q, R necunoscute,

in care ni se dau trei valori a,b,c si
f(a)
f'(b)
f''(c) .

Cum arata sistemul asociat?
Exista o unica solutie?
Se schimba (structural) ceva daca luam un polinom de grad mai mare?

La (b) suma este de la zero.

Daca este sa folosim (a)-ul,
desi mi se pare exagerat pentru o problema de combinatorica sa o impachetam asa,
atunci demonstratia "normala" folosind aceeasi idee este prin inductie.
(La pasul inductiv, vedem ca relatia are loc pentru x=0 si derivam si folosim o identitate combinatoriala).

Autorul vrea acelasi lucru dar direct,
ne legam de unicitate si vedem ca ambele parti au acelsi grad si aceleasi derivate de toate ordinele calculate in 0.