Cum pot demonstra ca un numar este rational sau irational.
Exemplu: 0,1234567891011121314....... este?
sau 0,23571113.... (dupa virgula sunt numere prime)

[Citat] Cum pot demonstra ca un numar este rational sau irational. Exemplu: 0,1234567891011121314....... este? sau 0,23571113.... (dupa virgula sunt numere prime)

Sa luam primul numar, este mai simplu cu el.
Avem scrierea in baza zece a unui numar. Daca acest numar ar fi rational (nu este, introducem aici un rationament - reducere la absurd, cautam o contradictie), atunci am avea o scriere periodica de la un punct anume.

Presupunem ca scrierea este periodica de perioada N.
Ne luam o pozitie dupa punctul la care incepe perioada.
Ne ducem mult mai departe la dreapta pana suntem siguri ca vine randul unor numere de lungime mult mai mare decat N.
Luam primul numar de forma 100000000000000........00000000...........00000000000000000
unde am marcat cu rosu pozitia in care ne asteptam sa se repete acel 1. In acest mod obtinem o contradictie.

La "aceeasi problema" dar in care lasam sa defileze numerele prime trebuie sa stim ceva despre numere prime. Distributia numerelor prime nu este un lucru de acelasi calibru. Probabil ca ne uitam la punctul (presupus) de la care incepe periodicitatea de perioada N, sa zicem, trecem depaaaarte de acest punct pana dam de enumerarea numerelor prime cu 2N cifre.
(Asa ceva exista, o teorema a lui Cebîsev ne spune ca intre K = 10^(...) si 2K-2 exista cel putin un numar prim.)
Atunci din cauza periodicitatii, primul astfel de numar este de forma
abc...zabc...z
= abc...z X 100...01 . Contradictie.

(Pe drum poate trebuie sa mai aplicam acelasi argument sau chiar sa ne schimbam argumentul, nu cumva ca perioada N sa se stabileasca la inceput din cauza unor numere prime cu 100N+2 cifre. Nu vreau aici sa dau o demonstratie ireprosabila, idea poate ca ajunge. Trebuie vazute lucrurile pragmatic in matematica. Primul exemplu ne ajuta deja sa construim un numar irational. In fine, puteam lua si radical din doi, dar poate ca aceasta constructie cu zecimalele ne ajuta sa vedem ca sunt "multe" numere irationale, are meritele ei.
Daca este insa sa aratam neperiodiciatatea cand inseram numerele prime, ne luam un caz singular foarte complicat. Luarea nu are nici un sens, exceptand cazul in care cineva ne explica sensul. Apoi mai vorbim cu acea persoana.)

In ce cadru au aparut problemele?
La ce nivel se asteapta de fapt solutia?

Multumesc ! Problemele sunt dintr-o culegere mai veche ( nu mai are coperta) si raspunsul sta la baza rezolvarii altor subpuncte .
Am inteles algoritmul pe care trebuie sa-l urmez, dar contradictia nu este foarte clara, adica e tot un fel de presupunere ca pe pozitia respectiva nu exista ce cautam, nu? Problema cerea sa determinam daca sunt rationale/irationale si sa motivam. Cred ca e suficient.
Prin acelasi rationament , 0,11235...(sirul lui Fibonacci ) este tot irational, nu?

[Citat] dar contradictia nu este foarte clara...

Daca de exemplu perioada (minima) are 756 de cifre care sunt (de la o vreme) sa zicem:

286549104751...975

atunci abia asteptam sa scriem numere din ce in ce mai mari in
0,123456789101112131415...

si anume candva ii va veni randul si lui
100000000000000000000000000000000000000000000000000...0

cu mai mult de 758 de cifre. Luam prima astfel de aparitie din punctul in care incepe periodicitatea.
In primul rand nu vedem nici un 2 in perioada. Un mod de a da de o contradictie.
Daca sunt mai mult de doua cifre in perioada, si asa ceva trebuie sa se intample, altfel sunt toate egale de la o vreme, nu se poate la noi, atunci ne legam de prima aparitie a lui
222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222...2
cu mai mult de 756 de cifre. Un nou mod de a da de o contradictie. ("Cealalta cifra lipseste cu desavarsire.")

Si tot asa.

La sirul stupid in care se iau si se scriu (ca si cand ar avea vreun sens) termenii unul dupa celalalt trebuie sa gasim ceva, un astfel de tip de contradictie. Usor nu este. Un mod de rezolvare este cel de a scrie explicit formula pentru termenul general si de a vedea ca ne putem apropia suficient de bine de anumite numere de o anumita forma.
Nu va trebuie asa ceva.

Este mai mult de explicat decat se poate folosi.
Daca cineva are o solutie simpla poate sa o posteze, nici nu va scris ceva, incep deja intrebarile. Viata e prea scurta ca sa ne tinem de astfel de lucruri care sunt *dupa parerea mea* stupide.