Buna ziua !

1. Fie D,E,F mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] ale triunghiului ABC. Sa se arate ca : AD*BC+BE*CA+CF*AB = 0

2. Sa se arate ca triunghiul AABC in care are loc relatia sin^2 B + sin^2 C = sin^ A este dreptunghic .

[Citat] 1. Fie D,E,F mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] ale triunghiului ABC. Sa se arate ca : AD*BC + BE*CA + CF*AB = 0

Desigur ca vectorial...

Atunci sa fixam un punct O si sa scriem toti vectorii care apar mai sus in functie de cei trei vectori OA, OB, OC.

Avem de exemplu
BC = OC - OB si
2AD = 2( OD - OA ) = 2OD - 2OA = ( OB + OC ) - 2OA .

Ca sa ma scap de numitori in prezentare, voi arata asadar mai bine ca are loc:
2AD*BC + 2BE*CA + 2CF*AB = 0

Echivalent:
( OB + OC - 2OA )*( OC - OB )
+
( OC + OA - 2OB )*( OA - OC )
+
( OA + OB - 2OC )*( OB - OA ) = 0 .

Probabil ca e timpul sa luam O=A, avem voie, raman doar expresii in AB si AC.

Mai ramane doar sa ni se spuna cine este * , sa deschidem parantezele, sa aplicam proprietatile lui * si sa simplificam in masa.

[Citat] 2. Sa se arate ca triunghiul ABC in care are loc relatia sin^2 B + sin^2 C = sin^2 A este dreptunghic .

(Anume in A.)
Fie R raza cercului circumscris triunghiului. Avem relatiile:
a = 2R sin A
b = 2R sin B
c = 2R sin C.
(Teorema sinusului intr-un triunghi oarecare.)
http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_sinusurilor

Inmultim de aceea relatia data cu 4R² ca sa putem aplica reciproca teoremei lui Pitagora.

[Citat] 2. S? se arate c? triunghiul ABC în care are loc rela?ia sin^2 B + sin^2 C = sin^2 A este dreptunghic .

[Citat] 1. Fie D, E, F mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] ale triunghiului ABC. Sa se arate ca: AD*BC + BE*CA + CF*AB = 0

Am inteles, multumesc mult de ajutor .