Salut, am si eu o nelamurire in legatura cu problema urmatoare:

Se da o multime fininita, nevida H si o lege de compozitie " * " pe H ce satisface urmatoarele conditii:
1)

;
2)

;
3)

.

Conditia "3)" echivaleaza cu ambele forme de mai jos:

.

Intebarea pe care o am este urmatoarea: rezulta din aceste conditii ca legea
" * " este asociativa si implicit ca structura algebrica (H,*) este grup? Adica ne putem da seama pe baza unei teoreme si a tablei lui Cayley ca (H,*) este grup? Sau mai trebuiesc conditii suplimentare?

Structura algebrica cea mai slaba pe o multime este o "magma", practic dam o operatie si nu cerem nimic.

Daca cerem proprietatea de a avea un tabel al operatiei cu linii si coloane de permutare a elementelor, asa zisa proprietae "Latin square" din
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Loop_(algebra)
dam de un quasigroup.


Daca cerem si element neutru dam de un "loop".
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Loop_(mathematics)

Am cautat un exemplu simplu (de descris) in care axiomele de mai sus sunt respectate, dar asociativitatea nu.
Iata-l:

http://en.wikipedia.org/wiki/Moufang_loop#Examples
Anume acel M( S(3), 2 ), undeva e si propozitia:
"The smallest nonassociative Moufang loop is M(S3,2) which has order 12."

S(3) este grupul de permutari de 3 elemente.
Fie elementele lui
e, a,b,c,d,f .
Introducem in plus elementele de forma
gu, unde g este unul din cele de mai sus.

Dam de urmatoarele elemente:

e, a,b,c,d,f,
eu=u, au, bu, cu, du, fu .

Definim operatia * pe multimea cu toate aceste 12 elemente astfel:

g*h = gh daca g,h sunt intre e, a,b,c,d,f, preluam deci operatia de pe S(3), altfel cu aceleasi notatii:

(gu)*h = (gh')u
g*(hu) = (hg)u
(gu)*(hu) = (h'g)u

Cautarea unui contraexemplu explicit a fost ceva ingreunata de faptul ca a doua axioma cere sa avem inversul la stanga egal cu inversul la dreapta.

La noi ea e satisfacuta:
Daca g este in S(3), atunci desigur gg' = g'g = e . Acelasi invers pe ambele parti.
Elementul gu are inversul... tot gu,
(gu)*(gu) = gg' = e .

Nota:
Imi mai ia ceva timp ca sa-i printez tabloul Cayley, cred ca trebuie mai bine sa programez...

Nota: Patratele latine sunt analizate si listate in dimensiuni mici aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Small_Latin_squares_and_quasigroups

Ochii mei sunt obositi, pur si simplu nu am vazut ca prima conditie este pusa intr-o forma sigur neintentionata.

[Citat] (1) ;

Asa ceva are loc cu certitudine in prezenta conditiei de a fi patrat latin a tabloului operatiei *,
deoarece x-ul mai apare in orice caz inca o data in linia lui x si de asemenea in coloana lui x.

Este cu totul alta afacere daca cerem:

Exista un e din H (unul bun pentru toate elementele),
... astfel incat pentru orice x din H are loc relatia de dubla egalitate in H:
...... x*e = x = e*x .

Multumesc pentru raspunsuri!
Totusi, nu am inteles daca la nivel de clasa a 12-a cu cele 3 conditii de mai sus (si bineinteles conditia ca " * " este o lege de compozitie pe H) putem demonstra ca (H,*) este grup ?
Dar daca mai punem si conditia ca legea " * " sa fie si comutativa, putem demonstra ca (H,*) este grup ?

[Citat] Totusi, nu am inteles daca la nivel de clasa a 12-a cu cele 3 conditii de mai sus (si bineinteles conditia ca " * " este o lege de compozitie pe H) putem demonstra ca (H,*) este grup ?

Problema propusa depaseste cu mult cele cateva exercitii simple de algebra (rareori neasociativa si / sau necomutativa) care se ofera de la sine ca prada pe clasa a XII-a.

Daca vine o astfel de intrebare, rog a se incerca sa se citeasca ce am scris ca raspuns. Stiu ca sunt greoi in exprimare, dar atunci o intrebare punctata, la obiect, ma ajuta sa clarific ce am vrut sa spun. (De multe ori trebuie sa ma corectez chiar in astfel de cazuri, ma ajuta enorm, astfel elimin posibile greseli sistematice pe care le fac din rutina sau din graba sau din lipsa de cunostinte.) Daca raspunsul la intrebare cere gandire algebrica complicata / neobisnuita (in notatie mai degraba), atunci aceasta gandire trebuie deprinsa mai intai.

Incerc acum sa scriu explicit raspunsul la intrebarea initiala, incat totul sa fie fara dubii:

Inainte de a tipari mai departe, va rog sa precizati sursa problemei, in ce cadru a aparut si care este interesul pentru solutia ei. Asa se face de obicei...

Cu un program facut cu metoda backtracking in C++ am reusit sa gasesc un contraexemplu la ceea ce doream eu sa demonstrez. Iata-l:

Tabla Cayley este:

Unde e=0 (elementul neutru).

Si neascoativitatea gasita este:

De la cineva am auzit o teorema care ne spunea ca in functie de [diagonala principala sau diagonala secundara] si cateva conditii suplimentare ne putem da seama dupa tabla Cayley daca structura algebrica este grup. Acea teorema nu am retinut-o si am incercat sa o demonstrez singur in functie de conditiile necesare ce rezulta din axiomele grupului.

Multumesc mult Gauss pentru explicatii !

O ultima intrebare mai am: Daca ni se da tabla Cayley a unei operatii algebrice, cum ne putem da seama ca multimea elemnetelor de pe tabla cu operatia respectiva formeaza un grup, presupunand ca toate axiomele grupului sunt respectate (si/sau comutativitatea), dar nu cunostem asociativitatea ? Adica cum putem constata ca legea este asociativa ?

[Citat] O ultima intrebare mai am: Daca ni se da tabla Cayley a unei operatii algebrice, cum ne putem da seama ca multimea elemnetelor de pe tabla cu operatia respectiva formeaza un grup, presupunand ca toate axiomele grupului sunt respectate (si/sau comutativitatea), dar nu cunostem asociativitatea ? Adica cum putem constata ca legea este asociativa ?

"Cu ochiul liber" nu putem
Asociativitatea este o operatie complicata. Motivul este faptul ca atunci cand o scriem totul depinde de TREI variabile, x,y,z sa zicem, relatia fiind (xy)z = x(yz) si tabelul de compozitie nu vede decat ce facem cu doua.

Numarul de cazuri pe care trebuie sa le "vedem cu ochiul liber" creste de asemenea vertiginos (odata cu cresterea numarului de elrmrnte).

Intrebarea este naturala.
Iata ce putem face "mai bine" cand incercam sa verificam asociativitatea:

http://en.wikipedia.org/wiki/Light's_associativity_test
A se vedea si http://math.stackexchange.com/questions/168663/is-there-an-easy-way-to-see-associativity-or-non-associativity-from-an-operation unde argumentul "uman" pentru neputina este: "Daca ar fi ceva simplu, nu am avea algoritmul (ramas complicat) al lui Light inca in prim plan."

Exemplu.
Mai sus avem o versiune usor schimbata a operatiei de pe ZZ / 6,

0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 0
2 3 4 5 0 1
3 4 5 0 1 2
4 5 9 1 2 3
5 0 1 2 3 4

anume pe pozitiile marcate, care formeaza un subbloc Latin diagonal.
(Desigur ca daca gasim un astfel de subbloc si inlocuim,
punem in locul lui alt (sub)bloc de aceeasi marime cu aceleasi simboluri,
dam tot de un tabel Latin pentru tabela mare. Pentru a nu strica, in coonditiile problemei date, trebuie sa il punem pe 0 tot cu plasari simetrice fata de diagonala.)
Noua tabela este:

0 1 2 3 4 5
1 2 3 0 5 4
2 3 4 5 0 1
3 0 5 4 1 2
4 5 9 1 2 3
5 4 1 2 3 0

Am inlocuit deci

2 4 0
4 0 2
0 2 0

cu

2 0 4
0 4 2
4 2 0 .

Ce facem acum pentru a verifica "cu ochiul" asociativitatea in acest exemplu?
Este clar ca asociativitatea se pastreaza pentru x,y,z care evita 0, 4 . (Singurele pozitii schimbate de fapt.)

Cautam un sistem care genereaza.
Din 1 putem face rost de
11 = 2, 12 = 3, 13 = 0, 10 = 1.
Nu ajunge. Mai trebuie sa luam ceva.
Il mai luam si pe 5 (sa zicem). Atunci
51 = 4
si vedem ca din 1,5 obtinem prin aplicarea repetata (sau deloc) a operatiei toate elementele.

Ajunge deci sa verificam (xa)y = x(ay) pentru toti a intre 1,5 .
Tabelul (x,y) -> (xa)y corespunde tabelului dat in care permutam liniile dupa cum ne spune permutarea x -> xa.
Daca "vedem cu ochiul liber" acest tabel putem continua.
La fel si cu permutarea coloanelor via y -ay .
Avem doua tabele, pe cere ochiul le poate compara.

In cazul nostru trebuie sa facem cele 2²=4 compoaratii (in loc de 6² comparatii).

Multumesc inca o data pentru raspunsuri !