Buna ziua

1)Vreau sa stiu daca matricea data este diagonalizabila si sa gasesc diagonalizarea sa.
Cand o matrice este diagonalizabila?
Stiu ca este o legatura intre ordinul de multiplicitate al variabilei lambda cred cu numarul de vectori independenti dar nu stiu care sunt acei vectori -nu sunt sigur de aceasta solutie.
2)De asemeni va rog sa imi aratati in cazul concret care este matricea vectorilor proprii si cum a fost ea obtinuta.

Va multumesc mult

Folositi un singur bloc de ecuatie, daca apar simboluri matematice des.
Lasati obiectele matematice in font matematic, nu este nici un motiv sa il plasati pe A "in afara dolarilor". Asta usureaza citirea foarte mult si conduce la un stil curat de tiparit matematica.

[Citat]

Ceva nu este in regula cu transcrierea lui A sau cu calculul valorilor proprii.

Cu calculatorul:

Domnule profesor
S-ar putea sa aveti dreptate sa fie valorile alese gresite deci prolema sa nu fie in regula.
Pe mine ma intereseaza care sunt formulele de calcul pentru ce am dorit(vectori proprii,matrica diagonabila,etc)
Deci va rog daca nu va suparati si daca se poate sa alegeti dumneavoastra niste vaori pentru rezolvaea problemei pentru ca numai cu exemplu se poate invata mai usor.
Daca se poate ar fi foarte bine!
Stiu din problemele dinainte ca aveti arta de a explica asa pe intelesul tuturor.
Multumesc mult de tot!

Bun, sa ne legam de urmatoarea problema mai bine, mi-am indeplinit misiunea de a ghici enuntul problemei:

Cu calculatorul avem asa. Copiem codul ce vine si il plasam in interpreterul sage:

x

Buna ziua
Cand o matrice este diagonalizabila?

Ca fapt divers, o matroce e diagonalizabila daca si numai daca radacinile polinomului minimal sunt distincte.

Buna ziua
Multumesc foarte mult domnului profesor Gauss pentru explicatiile deosebit de valoroase pentru mine date de dansul.
Daca nu va suparati ca o verificare ati putea sa imi indicati si pentru vectorii V1 si V3 expresiile matricelor coloana si cum au fost ele determinate?
Precum si pentru V2?De asemeni va rog daca se poate sa detaliati si ultima relatie cu matrice eu am incercat si gresesc pe undeva.
Multumesc si lui Guardiola pentru indicatia data cu referire la matricea diagonalizabila.

[Citat] Ca fapt divers, o matroce e diagonalizabila daca si numai daca radacinile polinomului minimal sunt distincte.

Mai sus ne legam tot timpul de polinomul caracteristic, este primul si singurul polinom "accesibil" direct, tocmai ma chinui sa explic cum stam cu el.

Cu polinomul caracteristic (in loc de cel minimal mai sus), una din implicatii este adevarata, cealalta falsa.

Daca valorile proprii pentru matrocea data sunt distincte, atunci pentru fiecare din ele avem un vector propriu, ii punem ca vectori coloana unul langa altul si dam de schimbarea de baza care diagonalizeaza.

Daca ele nu sunt distincte, uneori avem noroc, alteori nu.
Nu avem de exemplu noroc in cazul (deja adus la forma canonica Jordan)

Pentru matricea de mai sus cum gasim de exemplu polinomul minimal?
Dar pentru matricea din postarea initiala?


P.S. Scriu la un fel de roman, numele Matrocea va fi folosit (ca un fel de porecla a unui profesor de matematica renumit care da meditatii industrial, are multe probleme inteligente de olimpiada si o personalitate deosebita, ma si mir cum de nu mi-a venit mai repede)...

[Citat] V1 si V3 expresiile matricelor coloana si cum au fost ele determinate? Precum si pentru V2?

Sa incercam impreuna, pas cu pas, totul va deveni clar.
Nu trecem mai departe pana nu e clar cum ne alegem vectorii proprii.

Sa ne ocupam de valoarea proprie 1.
Calculam A-I. Care este aceasta matrice?

Rezolvam acum ca la liceu ecuatia liniara (h)omogena data de

(A-I)v = 0

unde
A-I este matricea 3x3 calculata deja,
v este un vector coloana, deci o matrice 3x1 cu trei intrari x,y,z din partea mea, care trebuie determinate, ele sunt necunoscutele sistemului scris compact mai sus,
0 este de asemenea vectorul coloana, matrice 3x1, cu trei intrari nule.

Care este deci solutia generala a acestui sistem, solutie vazuta ca vector coloana? Apoi alegem dintre multele solutii una umana, daca se poate fara numitori si fara divizori comuni ai componentelor (in cazul in care avem una rationala)...

La fel pentru valoarea proprie 3, ne uitam la sistemul
(A-3I)v = 0 .
Care este *un vector* netrivial solutie a acestei ecuatii?

Buna ziua
Am inteles explicatiile facute si voi incerca sa le concretizez:
Pentru fiecare vector propriu deci pentru flecare valoare pentru lambda avem cate un sistem omogen simplu nedeterminat.

Matricea sistemului de vectori proprii este diagonalizabila deoarece familia sistemului de vectori proprii este liniar independenta , constituie un sistem de generatori si deci familia respectiva formeaza o baza B ={V1,V,V3}.

Daca se poate sa imi spuneti daca am lucrat bine?
Multumesc mult de tot