Fie f:R->R dat? prin f(x)=1/(3+cos(x)). Ar?ta?i c? orice primitiv? a lui f este strict cresc?toare pe R.

Multumesc frumos. Nu m? gândisem la asta. Credeam c? e ceva mai complicat. Referitor tot la acest exerci?iu: calcula?i limit? când x tinde la infinit din F(x), unde F(x)=integral? de la 0 la x din f(t) dt unde f este func?ia anterior mentionat?. Apoi, ar?ta?i c? graficul func?iei F nu are asimptota spre +infinit.

f(x) se afla intre 1/(3+1) si 1/(3-1),
deci intre 1/4 si 1/2
pentru orice x real.

Deci F(x) se incadreaza intre polinoamele x/4 si x/2, tinde la infinit pentru x spre infinit.

Pentru a vedea ca nu avem asimptota, este bine sa vedem ca f este o functie periodica de perioada T = 2pi .
Sa notam cu J integrala lui f pe perioada [0,T] (sau pe orice alta perioada).

Rezulta:

F(0) = 0 = 0J
F(T) = J = 1J
F(2T) = 2J
F(3T) = 3J
F(4T) = 4J

si asa mai departe. Deci daca F admite o asimptota, atunci aceasta este x -> xJ/T . (Ceva mai bine poate de digerat este xT -> xJ.)
Calculam diferenta dintre F si asimptota in punctul xT.
Notam cu n partea intreaga a lui x, n=[x] .
Diferenta se poate scrie ca o integrala de la nT la xT din...

Asa ceva depinde inca de (x-n), deci nu avem asimptota.

O poza spune mai mult decat toate cele de mai sus.