Fie sirul

, cu

si

, unde

. Sa se studieze monotonia si marginirea sirului dat.

Sa rezolvam mai intai problema pentru a=1.
Cum stau in acest caz lucrurile?

Pai problema asta am primit-o de la profesoara mea ca sunt la pregatire pt nationala desi nu m-am calificat nici macar la jud(sicer sa fiu ma forteaza parintii sa merg in continuare la pregatire ); dar sunt un pasionat, sa stiti). Daca

, atunci x_n+1 este 2^x_n - 1 pt orice n natural de la 2 incolo. Numarul asta e intotdeauna mai mare sau egal cu x_n pt orice x_n natural, deci sirul e cresc. Daca x_2=1 sau x_2=0 de la rangul doi incolo sirul e constant deci putem spune ca e cresc&descresc. Este marginit. Daca x_2 e cel putin 2 sirul e strict crescator si astfel nemarginit fiindca e format doar din termeni naturali.
Sincer sa fiu domnule Gauss, mie nu mi-a iesit cazul x_1 mai mare ca x_2 ca apar si termeni negativi, irationali s.a. Mentionez ca am analizat ce se intampla cand x1=x2=0/1, apoi am facut a=1 si apoi fiindca nu are leg cu ordonarea primilor doi am pp pe mai departe ca a e cel putin 2. Asa cand x1 mai mic ca x2 si cand x1=x2=nr nat cel putin 2 lucrurile stau bine, ca e strict crescator de la rang 1 sau 2 si iara nemarginit. Multumesc si va astept indicatiile!

[Citat]

In primul rand este neclar
- daca trebuie sa studiem separat monotonia, cu mare discutie a cazurilor, apoi marginirea cu o alta separare de cazuri
- sau daca trebuie sa studiem cand sirul dat este in acelasi timp monoton si marginit.

Eu as ruga-o pe profesoara sa fie mai explicita aici.

Problema este cumva suparatoare. Ca sa dau un exemplu de probleme partiale ce pot interveni, iata aici una...


Sa zicem ca a este 100.

Daca plecam cu primii doi termeni
x1 = 463,
x2 = 462
atunci dam de un urmator termen negativ
x3 = -8.0844752491429175235486472881462534101 E923
(deci 10 la puterea 923 e acolo)
dupa care
x4 = aproape zero - 100^x2 , un numar negativ (si daca ne uitam mai atent vedem ca se strica deja monotonia, dar in orice caz)
x5 = aproape zero - aproape zero, deci sirul nu este monoton.

Daca plecam cu primii doi termeni
x1 = 464,
x2 = 463
atunci dam de un urmator termen pozitiv
x3 = 1.8346799983656533012158662389722840443 E925
si din pacate este foarte mare. In orice caz, calculul este foarte complicat si nu poate fi usor tinut in frâu, probabil ca daca muncim ceva mai mult dam de un caz de forma
x1 = 46....4
x2 = 46....3
x3 = ceva mai mic decat x2, si anume numai bine de mic incat urmatorul numar...

Fara un enunt exact este bine sa refuzam astfel de probleme.
Ele nu duc nicaieri (la nivel de liceu).
Daca este sa gasim un nume pentru structura folosita, atunci numele este "fractal" sau "haos".

Profesoara este rugata sa isi etaleze in acest caz solutia completa si in plus sa mentioneze cu ce ajuta aceasta problema pentru o pregatire pentru o nationala (sau in general).

La ce nivel este propusa de fapt problema?