Nu merge si asa?
Avem

. Ultima egalitate se realizeaza pentru

. Daca exista n cu aceasta proprietate, atunci

, deci

si mai departe e evident. Daca in schimb pentru orice n

, atunci inegalitatea

e stricta, si de aici putem demonstra convergenta lui

demonstrand ca e sir Cauchy.

[Citat] Daca in schimb pentru orice n , atunci inegalitatea e stricta, si de aici putem demonstra convergenta lui demonstrand ca e sir Cauchy.

Nota: Tipariti va rog totul intr-un singur bloc latex, daca aveti atatea formule.
Pur si simplu e greu (de tiparit si) refolosit codul:

[Citat] Daca in schimb pentru orice n [eq uation]$x_{n+1}\neq x_n$[/eq uation], atunci inegalitatea [eq uation]$|f(x_{n+1})-f(x_n)| \le |x_{n+1}-x_{n}|$[/eq uation] e stricta, si de aici putem demonstra convergenta lui [eq uation]$x_n$[/eq uation] demonstrand ca e sir Cauchy.

*Am inserat cateva spatii ca sa nu se complieze in poza latex.*

Mult mai natural si citibil ar fi:

[eq uation]
Daca in schimb pentru orice $n$ avem $x_{n+1}\neq x_n$,
atunci inegalitatea
$$
|f(x_{n+1})-f(x_n)| \le |x_{n+1}-x_{n}|
$$%
e stricta,
de aici putem demonstra convergenta lui $x_n$ demonstrand ca e sir Cauchy.
[/eq uation]

care se compileaza astfel:

(eroare: eq.2/48532)
$$|x_{n+p}-x_n| \le |x_{n+p}-x_{n+p-1}| + ... + |x_{n+1}-x_{n}| \le (a^{n+p-1}+a^{n+p-2}+...+a^{n})C = C * a^{n} * \frac{1-a^{p}{1-a} < C * a^n \cdot \frac{1}{1-a}$$

(eroare: eq.3/48532)
Atunci $x_n$ e sir Cauchy, de unde $x_n$ convergent,
de unde trecand la limita in $f(x_n)=x_n$ obtinem $f(l)=l$,
deci $l=c$,
de unde $x_n$ e convergent la c.


EDIT: Cred ca am gresit, nu pot considera a-ul acela.

[Citat]

Fals (in general).
Nu stiu de ce gasim un a bun pentru un numar numarabil de comparatii.
Luam un supremum, nu un maxim.

Este exact deosebirea dintre
- o functie Lipschitz cu constanta 1
- si una cu o constanta strict subunitara.
De aceeasi neplacere s-a lovit si npatrat incercand sa aplice teorema lui Banach de punct fix.

Aveti dreptate, mi-am dat seama acum.

Nota LaTeX:

Daca o formula e prea lunga, dam de o eroare de compilare aici... si eu frang codul aici ca sa imi caut punctul cu eroarea... In astfel de cazuri imi dau drumul la un sub-environment aligned de obicei...

De exemplu:

[Citat]

se obtine astfel:

[equ ation]
|x_{n+p}-x_n|
&\le |x_{n+p}-x_{n+p-1}| + \dots + |x_{n+1}-x_{n}|
\\
& \le (a^{n+p-1}+a^{n+p-2}+...+a^{n})C
\\
& = C \cdot a^{n} \cdot \frac{1-a^{p}}{1-a}
\\
& < C \cdot a^n \cdot \frac{1}{1-a}
\end{aligned}
$$%
[/equ ation]

Mi se pare putin ciudat cum se comporta erorile pe aici, prin alte parti nu le aveam. Oricum, e bine de stiut, multumesc frumos