Sunt mai multe probleme impachetate intr-una.
Pana la urma ramane doar una.

Din cele date functia este continua. (in definitia cu epsilon si delta(epsilon) putem sa il luam pe delta(epsilon) = epsilon, cand incercam sa o aplicam pe f-ul din problema.)

Daca stim ca exista limita sirului, atunci desigur ca trecand la limita in relatia de definitie dam de faptul ca limita este unul din punctele fixe ale lui f.

(Funtia f are neaparat cel putin un punct fix, deoarece altfel functia cu acelasi domeniu de definitie si cu valori reale, g(x) = f(x) - x are in a si respectiv in b valori de semne diferite. Folosim faptul ca imaginea lui f intra tot in [a,b]. )

Ramane sa vedem (da)ca plecand cu un x0 arbitrar in intervalul [a,b] dam de un sir recursiv care *are* limita.

Propun sa ne uitam pentru inceput la functia care intoarce [a,b] liniar (izometric) pe dos, deci
f(x) = (a+b)-x .

Atunci sirul construit recursiv plecand de la a si tot aplicand f-ul este

a,b,a,b,a,b,a,b,...

Ce vrea problema acum de la noi (in acest caz special)?
Care este de fapt sursa problemei?

E usor de aratat ca exista un singur punct fix, dar tot nu inteleg de ce sirul (x_n) e convergent! (Mai bine zis, nu stiu sa demonstrez asta!)

[Citat] E usor de aratat ca exista un singur punct fix, dar tot nu inteleg de ce sirul (x_n) e convergent! (Mai bine zis, nu stiu sa demonstrez asta!)

Cum se arata ca exista un singur punct fix?

Ma puteti ajuta mai departe, va rog? Multumesc!

[Citat]

(Scrieti va rog $a=b$ nu a=b in latex, orice lucru care are sansa sa fie o formula sau obiect matematic, de exemplu numele unei functii f, se pune intre dolari, deci $f$. Asta usureaza citirea.)

Multumesc!