Fie

o functie continua pe

pentru care exista doua siruri

si

incluse in

convergente la

cu

si

. Aratati ca f are proprietatea lui Darboux.
"Probleme pregatitoare pentru concursuri de matematica"
Cristinel Mortici, editura GIL

Sa incercam impreuna.

f este continua pe ( 0, oo ), probabil ca putem folosi acest lucru pentru a avea deja proprietatea lui Darboux pe "o bucata din cazuri" - noi o vrem pe [ 0, oo ).
Ce cazuri raman? Ce trebuie demonstrat explicit pentru cazurile ramase?

Luam un interval I din

. Daca

nu e in I, atunci

e interval. Daca insa

e in I, ar trebui sa demonstram iar ca

e interval, ceea ce mie imi da batai de cap.

Aah, asta era problema...

Mai exista cumva si "alta modalitate" de a vedea / defini (direct) proprietatea lui Darboux folosind explicit "capete de (cate un) interval", nu "tot intervalul I" ?

(Cand folosim proprietatea, o luam cu formularea care ne da cat mai mult, cand o demonstra, cautam formularea cat mai explicita.)

Sa luam un interval de forma [0,e), unde e >0 si sa presupunem ca f(0) nu e in f((0,e)). Cum f e continua pe 0 infinit, atunci f((0,e)) e interval (pe care il notam cu J).
Din presupunerea facuta, atunci f(0) > a, pentru orice a din J sau f(0) <a pentru orice a din J.
Sa studiem cazul f(0) > a, pentru orice a din J.
Asta inseamna ca J e marginit superior (un majorant este chiar f(0)) si fie M=sup {x | x din J}. Atunci a <= M <= f(0), pentru orice a din J. Sa pp ca M e in J.
Cum y_n tinde la 0, atunci exista un rang de la care $y_n$ e in (0,e).
Atunci f(y_n) <= M <= f(0). Trecand la limita dupa n, deducem b <= M <= f(0). Dar cum f(0) ia valori intre [a,b], deducem f(0)=b si M=b. Atunci, cum M e in J, ar rezulta ca b e in J, deci f(0) e in J, contradictie.
Atunci M nu e in J. Aplicand rationamentul de mai sus, deducem ca f(0) = sup{x, x din J}, adica f(0) reunit cu J e interval (J e de forma (m, b) si atunci J reunit cu f(0) e de forma (m,b]), si obtinem iar contradictie. Atunci f(0) <=a, pentru orice a din I si procedant analog pentru f(0) <a pentru orice a din I deducem ca f(0) se afla in f((0,e)).