Se considera un cub ABCDA1B1C1D1. Planul determinat de punctele A si centrele patratelor A1B1C1D1 si B1C1CB intersecteaza B1C1 in E. Calculati B1E/C1E.

Ma puteti ajuta?
Va multumesc, Cartez

[Citat] Se considera un cub ABCDA1B1C1D1. Planul determinat de punctele A si centrele patratelor A1B1C1D1 (in notatie O1), si B1C1CB (in notatie O2) intersecteaza B1C1 in E. Calculati B1E/C1E. Ma puteti ajuta? Va multumesc, Cartez

Deoarece nivelul nu este precizat, mi-l aleg singur incat sa am viata cat se poate de usoara. Asadar geometrie analitica. (Usoara, dar urata. Dar din literatura stim ca vine si ecoul: Urata, dar usoara.)

Propun sa plasam punctele cubului asa:
A( 0,0,0 )
B( 2,0,0 )
D( 0,2,0 )
A1( 0,0,2 )

Atunci cele doua centre sunt in
O1( 1,1,2 ) si O2( 2,1,1 ) .

Scriem ecuatia planului prin cele trei puncte:
3y = x + z .

(Daca o cautam dureaza cateva secunde, daca o avem, ajunge sa verificam...)
Ne intrebam unde taie acest plan dreapta parametrizata prin
{ (2,t,2) : t real }

Inlocuim si dam de 3t = 2+2 . Deci t = 4/3 .
Deci punctul E este punctul ( 2, 4/3, 2 ) .
Unde sta punctul acesta intre B1( 2,0,2 ) si C1( 2,2,2 ) ?

Unde sta punctul 4/3 in intervalul de la 0 la 2?
Desigur ca la o bucata distanta de 2 si la doua bucati distanta de 0.

Nota:
Desigur ca nu putem lasa lucrurile asa.
Dar este important de stiut faptul ca multi oameni (eu de exemplu) rezolva astfel problema, stiu astfel raspunsul, pot sa isi construiasca cu un indiciu in plus puncte ajutatoare si gasesc "imediat" solutia sintetica...

Fie F intersectia planului ( A, O1, O2 ) din problema cu BC,
deci E O2 intersectat cu BC.

Fie G intersectia planului ( A, O1, O2 ) din problema cu A1 D1,
deci E O1 intersectat cu A1 D1.

Ne uitam la AFEG.
Dreptele AG si FE se afla in planele paralele ADD1A1 si BCC1B1, deci nu se intersecteaza, sunt paralele, deoarece sunt in acelasi plan, cel problematic din problema.
Tot asa, AF || GE .

Deci patrulaterul AFEG este un paralelogram.
Din simetrie avem AF = AG.
Deci AFEG este un romb.

Fie H proiectia lui F si/sau G pe B1C1.
Ne concentram asupra patratului cu centrul in O2, BCC1B1.
Atunci HB1 = BF = EC1.
Pe de alta parte, triunghiurile EGH si AGA1 sunt congruente.
Deci EH = GA1 = HB1 .

De aici deducem ca punctele E si H impart B1C1 in trei parti (de lungimi) egale.

T.F.A. in triunghiurile colorate rezolva problema

Va multumesc, intre timp am rezolvat-o si eu, cu 2 asemnanari intre triunghiurile MO1C1 si MAC, O1 fiind centrul fetei A1B1C1D1 , M fiind intersectia planului din cerinta problemei cu dreapta CC1 si intre triunghiurile MEC1 si MFB, F fiind intersectia dreptelor ME cu BC si folosind si congruenta triunghiurilor EC1O2 cu FBO2, O2 fiind centrul fetei BCC1B1.
Inca o data, va multumesc, cu stima,
Cartez