[Citat] Dar mi se pare ciudat. Nu ar trebuie sa fie de fapt perechile: (1,2), (2,3), (3,4), ... (n-1,n), (n,1) ?

Da, exact din cauza asta am folosit tot cuvantul "ciudat" si m-am referit la o "ciclare", cerand explicit penultimul termen.

Bun.
Sa zicem ca putem folosi Stirling.
http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation

Cam ce face numitorul?

Apoi cam cat este fiecare radical de mai sus?
Chiar avem nevoie de acel "unu plus"?

Ma gandeam ca la numitor sa folosesc criteriul Cauchy D'Alembert:

[Citat] Ma gandeam ca la numitor sa folosesc criteriul Cauchy D'Alembert:

Bun, atunci pun intrebarea altfel:

Nota:
In loc de
\lim{\sqrt[n]{n!}} ajunge
\lim \sqrt[n]{n!}

Solu?ia e publicat? în GM 1/2014.

(eroare: eq.0/47457)
$$
\lim\sqrt[n]{\frac {n!}_n^n}=\lim \frac{(n+1)!*n^n}{(n+1)^(n+1)*n!}=\lim(\frac {n}{n+1})^n=\lim(1-\frac{1}{n+1})^n=e^{-1}
$$


Nu am primit inca GM1/2014

[Citat]

E bine, ne-am scapat cat de cat de problemele din numitor.
In numarator. Dau lui n valoarea 9, ca sa vedem numeric cum stau lucrurile.

Fiecare radical este de forma
radical( ss - st + tt )
si este clar ca valoarea obtinuta este intre s si t
deoarece st este intre ss si tt.

Poate ca o prima idee este sa minoram / majoram.

Iata care sunt numerele s, t si ce obtinem dupa ce extragem radicali.
Cod pari/gp.


{
S = 0.0;
v = [1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1];
for( k=1, 9,
s = binomial( 9, v[k] );
t = binomial( 9, v[k+1] );
a = s^2 - s*t + t^2;
print( "k=", k, ", :: s = ", s, " :: t = ", t, " radicalul este ~ ", sqrt(a) );
S = S + sqrt(a); );
print;
print( "Suma radicalilor este cam ", S );
}


Rezultate:

k=1, :: s = 9 :: t = 36 radicalul este ~ 32.44996147917590363807299141
k=2, :: s = 36 :: t = 84 radicalul este ~ 72.99315036357863626799621094
k=3, :: s = 84 :: t = 126 radicalul este ~ 111.1215550647128048010678617
k=4, :: s = 126 :: t = 126 radicalul este ~ 126.0000000000000000000000000
k=5, :: s = 126 :: t = 84 radicalul este ~ 111.1215550647128048010678617
k=6, :: s = 84 :: t = 36 radicalul este ~ 72.99315036357863626799621094
k=7, :: s = 36 :: t = 9 radicalul este ~ 32.44996147917590363807299141
k=8, :: s = 9 :: t = 1 radicalul este ~ 8.544003745317531167871648326
k=9, :: s = 1 :: t = 9 radicalul este ~ 8.544003745317531167871648326

Suma radicalilor este cam 576.2173413055697517500174246


Este clar cam ce facem acum?

Nota:
Acea stelutza este \cdot in LaTeX mai bine.