Depinde de n (daca e bine sau nu)...
Inca o data. Pe un exemplu.
Daca avem un sistem de 4 ecuatii cu 4 necunoscute, scris compact sub forma
Ax = b
unde A este o matrice 4x4 si x este un vector coloana cu componentele
x1, x2, x3, x4
si daca stim ca solutia *generala* a sistemului depinde de UN parametru r
sa zicem ceva de forma
x1 = 1 + 7r
x2 = 4 + r
x3 = 1 - 5r
x4 = 99
care este rangul lui A?
Aceasi intrebare pusa mai simplu / mai complicat:
Daca avem un sistem HOMOGEN de 4 ecuatii cu 4 necunoscute, scris compact sub forma
Ax = 0
si daca stim ca solutia *generala* a sistemului depinde de UN parametru r
sa zicem ceva de forma
x1 = 0 + 7r
x2 = 0 + r
x3 = 0 - 5r
x4 = 0
( ... deci x = r [7, 1, -1, 0 ]'... )
care este rangul lui A?
Nota:
Teorema structurala care sinetizeaza acest lucru este urmatoarea:
Pentru un morfism / pentru o aplicatie liniara intre spatii vectoriale
f : V -> W
are loc relatia:
dim V = dim Ker(f) + dim Im(f) .
http://en.wikipedia.org/wiki/Rank-nullity_theorem
La noi aplicatia f este aplicatia
- de la spatiul V al (vectorilor coloana sau ak) matricilor 4x1
- tot spre V
- data de inmultirea (din stanga) cu A.
Rangul lui A este prin definitie (la facultate) dimensiunea imaginii.
(Si la nivel de liceu e cam tot asa. Ne uitam la imaginile vectorilor canonici din V prin A, aceste imagini sunt coloanele lui A, ne intrebam cate din ele sunt independente, maximal, acesta este rangu.)
Nucleul "inmultirii cu A" este multimea
{ x in V : Ax = 0 }
Dimensiunea nucleului este "numarul de parametri" necesari pentru a combina liniar (vectorii dintr-o baza a nucleului) pentru a obtine solutia generala a sistemului Ax = 0 .
Access general
Conţine mesaje necitite
