[Citat]

Folosi?i metoda lui Studalbert. Nu e nici o sup?rare. Succes!

Incerc sa fac sa terminam toate punctele.
Urmatoarea solutie nu primeste nici un fel de premiu de frumusete, este insa solutia pe care o gasim daca experimentam cu sirul cat de cat.

Mai intai trebuie sa punem enuntul pe bigudiuri, a fost foarte greu retiparitul.

Apoi scriu ce putem incerca pentru a vedea cum merge problema.

Apoi izolam o dubla inegalitate pe care vrem sa o demonstram.
(Idea este de a aplica criteriul clestelui.)

Apoi o demonstram inductiv.

Iata cum se scrie enuntul.

[Citat]

Postarea intiala a fost enervanta la maxim.
E ca si cum un comentator de fotbal vorbeste peste o balada pop, de exemplu peste acel refren "Let me take you through the streets of London"...

Urmatorul pas este sa vedem cam ce face acest nou sir din punct de vedere experimental. Aceasta parte de cautare lipseste cu desavarsire din "manuale". Fiecare cauta altfel. Cautarea este lucrul greu de fapt. La acest pas sunt permise orice "trucuri" matematice si nematematice. Daca este insa sa povestim aceste lucruri, putem sa le povestim doar pe cele matematice. Putem sa ne ajutam de calculator, putem plota, putem face afirmatii despre primii cativa termeni... Dar pentru a avea jaloane de argumentare, trebuie sa facem ceva.

Ceea ce fac eu este asa.
Calculez aproximativ cu eroare mai mica de (1/10)^20 primele cateva valori ale sirului. Ma opresc constient la n=10, n=100, n=1000. Ma las impresionat de valori si incerc sa *ghicesc* *asimptotica* din ceea ce vad.

De aceea, iata ce tiparim (in pari/gp, cativa MB de soft matematic):


(22:05) gp > y=1. ; for( n=2, 10, y = ( (n+1)* y + (n+1)^2 ) / n^2; print( "y( ", n, " ) = ", y ) )
y( 2 ) = 3.000000000000000000000000000
y( 3 ) = 3.111111111111111111111111111
y( 4 ) = 2.534722222222222222222222222
y( 5 ) = 2.048333333333333333333333333
y( 6 ) = 1.759398148148148148148148148
y( 7 ) = 1.593371126228269085411942555
y( 8 ) = 1.489692814625850340136054422
y( 9 ) = 1.418480594398253128411858571
y( 10 ) = 1.366032865383807844125304443


mai sus m-am oprit la n=10 si am dat de o valoare pe langa 1.366 , sa vedem ce facem si cu urmatoarele. Din lene, am schimbat 10 cu 100 si 1000 si am luat in calcul asteptatul la printat.

Avem urmatoarea informatie:

(22:05) gp > y=1. ; for( n=2, 100, y = ( (n+1)* y + (n+1)^2 ) / n^2; print( "y( ", n, " ) = ", y ) )

........................ MULTE LINII ....................

y( 91 ) = 1.033585906485375553013155220
y( 92 ) = 1.033214022838272675617937551
y( 93 ) = 1.032850285367880406001628643
y( 94 ) = 1.032494429279079746329804744
y( 95 ) = 1.032146201131389657135474931
y( 96 ) = 1.031805358236734461452055237
y( 97 ) = 1.031471668095142945820204210
y( 98 ) = 1.031144907865620486426093317
y( 99 ) = 1.030824863869662488383084311
y( 100 ) = 1.030511331125083591132669152


si apoi


(22:05) gp > y=1. ; for( n=2, 1000, y = ( (n+1)* y + (n+1)^2 ) / n^2; print( "y( ", n, " ) = ", y ) )

........................ SI MAI MULTE LINII ....................


y( 991 ) = 1.003032347772325630770035619
y( 992 ) = 1.003029285820168118487572602
y( 993 ) = 1.003026230045469593407403331
y( 994 ) = 1.003023180429554431463469313
y( 995 ) = 1.003020136953822212786280766
y( 996 ) = 1.003017099599747343536946906
y( 997 ) = 1.003014068348878680020854814
y( 998 ) = 1.003011043182839155064980496
y( 999 ) = 1.003008024083325406642944226
y( 1000 ) = 1.003005011032107408732049587


In acest moment m-am decis sa izolez si demonstrez ceva de forma:

Acesta este punctul in care problema se transforma dintr-o nebuloasa greu atacabila in ceva usor de demonstrat folosind cunostintele de clasa a IX-a.

Folosirea calculatorului pentru a da de acel 1 + 9/n de la n=10 mai departe este permisa in acest secol. In conditii de bacalaureat, luam 1 + 100/n daca avem dubii. (In fine, sper sa mearga, nu am verificat.) Esential a fost sa gasim acel 1 + O(1/n) !

Iata acum demonstratia prin inductie.

Nota:
Inca nu am terminat. In acest moment este bine sa incercam sa rafinam cele demonstrate. Putem de exemplu sa mutam granita inferioara de la $1$ la $1+3/n$. Apoi granita superioara la $1 + 4/n$, demonstratia nu merge insa chiar asa, pentru $n=10$ avem probleme, dar cu calculatorul ne putem duce pana la 100 oricum.

Inca ne putem pune problema daca avem o formula mai buna pentru asimptotica, din ceea ce vedem ne putem pune de exemplpu problema daca avem o incadrare intre

1 + 3/n + 5/n² si
1 + 3/n + 6/n²

de exemplu, asta pentru valori ale lui n mai mari decat 1000.
Astfel de calcule apar des in fizica.

N-am vrut s? mai intervin, de vreme ce propun?torul spune

[Citat] daca metoda lui Studalbert este gresita

Cum problema e de fapt banal?...

Postarea

[Citat] Buna seara. Dupa atatea comentarii facute la aceasta postare nu am gasit un raspuns clar. Am rabdare, nu e problema. Dar daca metoda lui Studalbert este gresita din punctul de vedere al domnului profesor Bogdan Enescu, atunci dati-mi dvs o alta idee sau o metoda... ceva. Multumesc

vine mai bine ca text. Nu are nici un fel de matematica in ea.
Metoda este gresita pe cat se poate de grav, mai ales ca ajungem la acest nivel sa scriem pe hartie

EGALITATEA

care este deja o contradictie in sine pentru n = 1 .
Apoi daca mai dam si valorile 2,3,4 pentru n dam de cateva valori foarte interesante pentru l.


(Alegerea literei l este la fel de agasanta. Se confunda foarte usor cu unu. Mai bine L data viitoare. Acesta este un punct didactic, valabil pentru toti cei ce vor sa ajute in invatamant.)

Deci care este limita aceea?
Nici o problema, ne putem alege:


De aici deducem ca l =

Orice om normal se opreste aici din cosmar, dar noi mergem mai departe. Aceasta "limita", care se misca cu n-ul spre zero, o inmultim cu n, ca asa vrea problema sa o inmultim cu ceva ce tinde la infinit - si de necrezut, dam de limita cautata a celuilalt sir.

"Teorema" folosita nu este
"Daca doua siruri (a(n)) si (b(n)) sunt convergente la A si B (numere reale), atunci sirul produs ( a(n)b(n) ) este convergent, anume la AB."

Nu! Ea este o "teorema" de forma:
"Daca doua siruri (a(n)) si (b(n)) sunt convergente la functiile de n bine alese
A(n) si B(n),
atunci sirul produs ( a(n)b(n) ) este convergent, anume la A(n)B(n) cu conditia sa alegem A(n) si B(n) incat produsul sa fie o constanta - sau macar sa tinda la o constanta."

Probabil ca nu am inteles eu "teorema" folosita, dar cred ca sunt pe drumul rau cel bun.

Fac aici remarca faptului ca valoarea limitei sirului recursiv pe care o notam cu L =

calculata in text are loc doar la o distanta foarte mare -respectiv infinit-si nu putem vorbi de aceasta relatie la un nivel inferior de ex.n=1,2,3...finit,cand bineinteles ca nu mai este valabila.
Asta ar fi sa zicem exact ca situatia unui om care priveste de la o distanta de un metru doi copaci foarte apropiati unul de celalalt :vede doi copaci,pe cand daca ii priveste de la o distanta foarte,foarte mare vede doar unul singur imaginea rezultanta suprapunand cei doi copaci intr-unul singur.
Exemplul l-am luat eu si nu este scris nicaieri.

Buna seara
(Pentru domnul profesor Gauss in limita timpului dumnealui disponibil si pentru mine)
Eu m-am inspirat aici din ce ati spus dumneavoastra cu acele siruri si uitati ce m-am gandit eu sa spun:
"Daca consideram doua siruri

din care cel putin unul din siruri este convergent atunci sirul produs

este convergent daca sirul astfel format are o limita finita sau macar tinde la o valoare finita.
In cazul nostru sirul

este convergent avand limita egala cu L pe cand celalalt sir si anume

este divergent avand limita infinit.
In schimb sirul produs si anume

tinde la valoarea finita unu deci este un sir convergent.
Cu siguranta ca voi fi criticat(dar nu prea aspru) dar eu va rog daca se poate sa imi"periati" acel text si sa fiti ingaduitor cu critica-ca orice om este supus greselii.

Intr-un fel m-am inspirat si din studiul unor limite de mai multe variabile.
Cu multumiri

[Citat] Buna seara (Pentru domnul profesor Gauss in limita timpului dumnealui disponibil si pentru mine) Eu m-am inspirat aici din ce ati spus dumneavoastra cu acele siruri si uitati ce m-am gandit eu sa spun: "Daca consideram doua siruri din care cel putin unul din siruri este convergent atunci sirul produs este convergent daca sirul astfel format are o limita finita sau macar tinde la o valoare finita.

Sirul produs este deci convergent daca converge. Anume la o limita.
La noi "sirul produs" chiar converge, anume la unu.
Exact acest lucru trebuie demonstrat.

[Citat] In cazul nostru sirul este convergent avand limita egala cu L

Unul din cele doua siruri converge intr-adevar, anume la zero.
Atunci sa folosim valoarea 0 in toate formulele. Acel L nu are ce cauta in nici o formula.

[Citat] pe cand celalalt sir si anume este divergent avand limita infinit.

[Citat] In schimb sirul produs si anume tinde la valoarea finita unu deci este un sir convergent.

Asa este. Trebuie doar sa demonstram acest lucru.

[Citat] Cu siguranta ca voi fi criticat (dar nu prea aspru) dar eu va rog daca se poate sa imi "periati" acel text si sa fiti ingaduitor cu critica - ca orice om este supus greselii.

Nu stiu care text este de periat.


Din nou scriu ceva legat de latex mai intai.

[Citat] [eq uation]$\displaystyle\lim_{{n\to\infty}}(a_n$ , $ b_n)$=$\displaystyle\lim_{{n\to\infty}}(a_n\cdot b_n)$=$\displaystyle\lim_{{n\to\infty}}n\cdot \frac{n+1}{n^2-1}$ =1[/eq uation]

Nu inteleg de ce trebuie sa facem trei bucati de formule cu egalul in afara "matematicii".
Totul sta foarte bine intr-un singur bloc.
(Spargerea este cat de cat permisa pentru neajutorati, daca formula trece de o linie, dar nu este cazul.)

Apoi de ce avem nevoie de acolade duble?
{{n\to\infty}}
cand ajunge pur si simplu pentru a separa ce intra sub limita
{n\to\infty}
si ar fi mult mai usor citibil?

Am scris o data ca nu e bine sa ne apucam sa facem distorsiuni in formule, dar inca vine aceasta nota personala. Care irita si da palme.

Totul se poate tipari intr-un singur bloc de ecuatie, in format display deja, introdus si terminat de dolarul dublu:

[eq uation]
$$
\lim_{n\to\infty} (a_n, b_n)
=
\lim_{n\to\infty} (a_n\cdot b_n)
=
\lim_{n\to\infty} n\cdot \frac{n+1}{n^2-1}
=
1
$$%
[/eq uation]

Daca tiparim cele de mai sus in bloc de ecuatie (fara acea gaura dupa q) iata ce obtinem:

"FORMULA" DE MAI SUS ESTE CORECTURA IN LATEX, IN MATEMATICA NU ARE NICI UN SENS.

E pentru ultima oara cand scriu acest lucru legat de prezentare.
Scrierea in LaTeX trebuie sa fie usor citibila si refolosibila.
Folosirea de spatii este o indicatie buna.
Se poate rupe linia, pentru a face mai usoara citirea.
Semnul de egalitate este atat de important in matematica, incat in LaTeX putem sa ii dam o linie proprie. Cumva trebuie evidentiat. Putem pune desigur egal sub egal, dar nu putem sa il ascundem in "white noise", in zgomot alb, ca in
...)$=$\displaystyle\lim_{{...

Se vede undeva mai sus vreun semn de egalitate usor?

Si acum trecem la partea matematica.
(Cele de mai sus sunt o insiruire de simboluri matematice, trebuie sa vedem cine le compileaza.).

Din pacate nu stiu cine este

.
Aici ma opresc si nu merg mai departe.
Ce semnifica cele de mai sus? Are chiar rost sa incercam aici sa dam sens la toata aceasta harababura? Aici ne aflam la rubrica in care ii aratam lui Broke cum se rezolva problema lui, daca mai postam de cateva ori ceva solutia nu se va putea gasi. Asa ca va rog sa va ganditi bine ce scrieti pe post de solutie.
Daca scrieti o solutie, atunci toate literele trebuie definite in cadrul solutiei, nu in cadrul multor postari disperate. (Orice altceva este o greseala grava de prezentare, de comunicare si de comportament - aici imi e *mie* indiferent, e un loc in care sporovaim cumva si invatam sa facem ceva, dar "afara" in lumea cu grafica ireprosabila, lucrul acesta nu se iarta.)