Fie matricele inversabile A,B,C patratice de ordinul n cu elemente reale cu
AC=CA si

=In.
Sa se demonstreze ca det(ABC+CBA+

+In)

0.

Continutul din determinant este

. Dar nu stiu cum sa demonstrez ca BAC=CBA. Dati-mi va rog o idee. Multumesc.

Scrieti va rog data viitoare totul intr-o singura "ecuatie", daca trebuie sa scrieti macar trei bucati de formula matematica.
Tot ce e obiect matematic e bine sa fie pus in font de matematica.
Altfel este totul necitibil. In plus In nu se distinge de ln si acel n este poate un index. Si nu inteleg de ce spargeti o formula in doua si o terminati inainte sa se termine afacerea cu matematica:

Asa NU:

AC=CA si [eq uation]$B^2$[/eq uation][eq uation]$C^2$[/eq uation]=In.
Sa se demonstreze ca det(ABC+CBA+[eq uation]$A^2$[/eq uation]+In)[eq uation]$\geq$[/eq uation]0.

Iata cum arata totul tiparit normal:

[Citat]

Partea cu "continutul din determinant" nu se intelege.

Care este sursa problemei?
In ce context a aparut?

Partea cu "continutul din determinant" am scris-o ca sa vedeti cum am gandit problema Problema am gasit-o in gazeta.

[Citat]

[Citat] Cela doua matrici $(A+CB)$ si $(A+BC)$ au acelasi determinant, deoarece sunt ``conjugate'', ajunge sa vedem ca $$ C\cdot (A+BC) \cdot C^{-1} = \underbrace{C\cdot A}_{=AC} \cdot C^{-1} + C\cdot BC \cdot C^{-1} = A+CB\ . $$%

Nu am inteles de ce ati facut asta $C\cdot (A+BC) \cdot C^{-1}$. Si ce vreti sa spuneti prin matrice conjugate?

[Citat] [Citat] Nu am inteles de ce ati facut asta $C\cdot (A+BC) \cdot C^{-1}$. Si ce vreti sa spuneti prin matrice conjugate?

Am vrut sa demonstrez relatia

det( A + CB ) = det( A + BC ) .

Deoarece CB si BC sunt in anumite cazuri matrici diferite, in orice caz nu si s-a dat ca ar fi egale, matricile A + BC si A + CB sunt de asemenea diferite. De unde sa stim ca ele au determinant egal?

Ceea ce putem folosi aici este proprietatea de multiplicativitate a determinantului,

det( XY ) = det(X) det(Y)

pe stanga avem determinantul produsului XY,
pe dreapta avem produsul (numerelor reale, al) determinantilor lor.

E clar acum cum merg lucrurile?

"Conjugarea" este aici folosita in sensul teoriei grupurilor.
(Avem un grup al matricilor inversabile, pe el putem defini morfismul de conjugare cu o matrice inversabila C, el e dat de

X -> C X inversa(C)

si se extinde prin aceeasi formula la intreg inelul matricilor. In inele se foloseste acelasi termen.)

[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugation_(group_theory)

Partea aceea in care ati folosit det(xy)=dext(x)*det(y) am inteles-o. Nu intelesesem doar conjugarea si de ce ati ales sa inmultiti de o parte si de alta cu C si C^-1.
Multumesc.

[Citat] Partea aceea in care ati folosit det(xy)=dext(x)*det(y) am inteles-o. Nu intelesesem doar conjugarea si de ce ati ales sa inmultiti de o parte si de alta cu C si C^-1.

Acum e clar cum "ne mutam de la BC la CB",
mutandu-ne de fapt cu C-ul nu in jurul lui B,
ci in jurul lui A?

(Deci folosind efectiv AC = CA, lucru esential!)