Buna ziua
Am reluat problema de extrem conditionat dupa Lagrange si am ajuns la rezolvarea sistemului:

Acest sistem nu stiu ncum se poate rezolva.
Ma puteti ajuta?
multumesc

scuzati in ecuatia a doua in loc de a trebuia sa scriu lambda.

[Citat] Buna ziua Am reluat problema de extrem conditionat dupa Lagrange si am ajuns la rezolvarea sistemului:

Sa incercam atunci impreuna.
Din cate am inteles avem DOUA PROBLEME. Din pacate nu mai am puterea sa scriu eu care sunt cele doua probleme in detaliu. Incerc ceva la repezeala.

In astfel de cazuri este bine sa scriem problema initiala de asemenea, cei ce citesc azi sau peste un an nu au mereu sansa sa gaseasca legatura cu
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=46725
O sa o scriu cat de cat ceva:

Cele doua probleme sunt (intr-un citat pe care as fi dorit sa il pot da direct):

[Citat]

si respectiv

[Citat]

Este imposibil sa se faca distinctie intre cele doua probleme fara scriere explicita.

Am inceput asa, pentru ca ma ajuta mult notatiile.
In primul rand mi-am dat un plot al curbelor, le putem vedea impreuna tiparind in bara de navigare:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+9x^2+-+y^2+%2B+12x+-+2y+%2B+3+%3D+0 (cele doua drepte)

si respectiv

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+9x^2+-+4y^2+%2B+12x+-+6y+%2B+3+%3D+0

(Linkurile nu mi se compileaza pe pagina, slabiciune a paginii...)

[Citat]

Citatul este de pe http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=46725&start=2 (am dat start=2 ca sa fiu direct la postare).

Inlocuirea face desigur apel la calcul, eu am folosit computerul pentru a ma scapa de calcule, in orice caz, si facute cu mana calculele conduc la un polinom de gradul 4, la o ecuatie de gradul patru in y, asa si trebuie daca avem patru solutii. Deoarece "stim" doua din solutii,

EDIT : y = MINUS 1
solutie dubla, ne putem aranja la o ecutatie de gradul doi. Eu folosesc in astfel de cazuri computrul, daca nu am computer atunci hartie si schema lui Horner, in orice caz, aici se deschide o noua poveste. Si wolfram alpha stie sa rezolve astfel de sisteme algebrice, trebuie numai sa i se spuna.

Tiparim in bara de navigare.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=10xy+%2Bx%2B6y%3D0+%2C+9x^2+-+y^2+%2B+12x+-+2y+%2B+3%3D0

(La mine pe masina am sage, ma descurc mai usor, dar aici, ca sa vedem impreuna ceva mergem cel mai bine la worlfram alpha.)

La fel se poate proceda si cu cealalta problema.
Desigur ca putem sa cerem lui wolfram alpha direct solutiile sistemului de trei ecuatii cu trei necunoscute...

Daca mai sunt probleme, cu incredere, munca de incercare de intelegere o apreciez foarte tare, problemele vor deveni destul de repede pulverizate. Partea calculatorie o putem suplini din cand in cand folosind masinile de calculat. Problemele de comunicare se vor duce treptat cand avem o baza comuna de discutie, si eu invat activ afacerea cu comunicarea, nu este ceva usor.

Trimit ca sa vad ce se compileaza...

Am inteles cum ati facut dar nu am inteles de unde ati spus ca stim ca y=1 este o solutie dubla?
Eu am incercat sa inocuiesc si nu mi-a dat bine.

[Citat] Am inteles cum ati facut dar nu am inteles de unde ati spus ca stim ca y=1 este o solutie dubla? Eu am incercat sa inocuiesc si nu mi-a dat bine.

Am gresit cu acel 1, este -1.

Fara computer insa lucrurile nu merg bine.

In plus aceasta solutie y = -1 nu conduce la o solutie a sistemului initial in care aparea si lambda, este din cauza faptului ca in ecuatia cu acel (-2y-2) pe langa lambda dam de o ecuatie fara solutii.

(Eliminarea lui lambda introduce un 0:0 in cazul in care y = -1.)

buna seara
ce concluzie trebuie sa tragem de aici?y=-1 nu este solutie? atunci
sistemul nu are solutii?
puteti sa imi spuneti(daca aveti timp)
multumesc mult

de fapt ce ar insemna ca sistemul nu are solutii?
Ca nu pot sa duc o distanta de la punctul meu fata de curba respectiva?
Eu asta nu inteleg.
doar daca aveti tmp sa imi raspundeti nu vreau sa va plictisesc prea mult cu problema mea

[Citat] buna seara ce concluzie trebuie sa tragem de aici? y=-1 nu este solutie? atunci sistemul nu are solutii?

Sistemul nostru are trei ecuatii, in ordinea in care le-am scris le notez cu:
(F'x) , (F'y) si (F'lambda) .

Daca incercam sa rezolvam sistemul cu calculatorul, eu folosesc sage, dam imediat de doua solutii:

var( 'x,y,a' );
s(x,y) = 9*x^2 - y^2 + 12*x -2*y + 3;
factor( s(x,y) )
F(x,y,a) = (x^2+y^2) - a*s(x,y)
eqx = diff( F, x )(x,y,a) == 0 ;
eqy = diff( F, y )(x,y,a) == 0 ;
eqa = diff( F, a )(x,y,a) == 0 ;
[ eqx, eqy, eqa ]
solve( [ eqx, eqy, eqa ], x,y,a )


Dupa ce copiez cele de mai sus si le introduc in mancatorul de cod (sage), dau de:

sage: var( 'x,y,a' );
sage: s(x,y) = 9*x^2 - y^2 + 12*x -2*y + 3;
sage: factor( s(x,y) )
(3*x + y + 3)*(3*x - y + 1)
sage: F(x,y,a) = (x^2+y^2) - a*s(x,y)
sage: eqx = diff( F, x )(x,y,a) == 0 ;
sage: eqy = diff( F, y )(x,y,a) == 0 ;
sage: eqa = diff( F, a )(x,y,a) == 0 ;
sage: [ eqx, eqy, eqa ]
[-6*a*(3*x + 2) + 2*x == 0,
2*a*(y + 1) + 2*y == 0,
-9*x^2 + y^2 - 12*x + 2*y - 3 == 0]
sage: solve( [ eqx, eqy, eqa ], x,y,a )
[
[x == (-9/10), y == (-3/10), a == (3/7)],
[x == (-3/10), y == (1/10), a == (-1/11)]]

(Am scris un "a" in loc de lambda ca sa nu ma ocup mai mult cu tiparitul.)
(Daca suntem in clasa a IX-a si rezolvam sisteme algebrice, atunci asa ceva se face intai de mana, se verifica doar asa, daca suntem la facultate si ne concentram asupra teoremei lui Lagrange, presupunem ca stim deja cum se rezolva astfel de sisteme si avem voie sa cerem direct soutiile, viata e prea scurta altfel.)

Ce am vrut sa spun cu acel -1 care este solutie a unui sistem, dar nu este solutie a altuia, e cam asa.

Ne facem ca nu stim ca putem factoriza F-ul, am incercat acolo sa raspund la intrebarea "ce facem daca nu stim sa factorizam?!...", facand ceea ce as face mereu in astfel de cazuri, anume eliminam a-ul. In momentul in care eliminam acest "a" facem o impartire. Aceasta operatie este interzisa daca "impartim cu zero", facand-o introducem / pierdem eventual solutii de la sistemul cu

(F'x), (F'y) si (F'lambda)

la sistemul cu doua ecuatii care rezulta dupa substitutie, un fel de:

(F'x) SUPRA (F'y) prima ecuatie si
(F'lambda) a doua ecuatie.

Trebuie mereu sa vedem la inceput ce pierdem / daca chiar pierdem solutii, apoi la sfarsit, dupa ce avem o mana de solutii, trebuie sa vedem daca acestea chiar sunt solutii ale sistemului initial, este usor, trebuie doar sa inlocuim.

Cu computerul (altfel tiparesc de nebun) in prezenta codului deja tiparit:


eq_a_eliminat = ( (2*x) / (2*y) == (18*x+12) / (-2*y-2) )
solve( [ eq_a_eliminat, s(x,y) == 0 ], x,y )


Obtinem:
[
[x == (-9/10), y == (-3/10)],
[x == (-2/3), y == -1],
[x == (-3/10), y == (1/10)]]

Obtinem solutiile de mai sus (doar cu x,y, fara a-ul eliminat) si inca o solutie "in mod (ne)asteptat". De ce?
Sa inlocuim asadar, cum am spus mai sus, solutia noua in sistemul initial.

Observam ca
y = -1 face ca paranteza (-2y-2) sa se anuleze
in acelasi timp in care
x = -2/3 face ca paranteza (18x+12) sa se anuleze.

Deci ecuatia pe care o scriem cand eliminam este in acest caz ... = 0/0 .
Inca nu am pierdut, sa vedem ce devine de exemplu (F'y) pentru y = -1 .

(F'y) este ecuatia
2a(y + 1) + 2y = 0
si inlocuind y = -1 dam de

2a(-1+1) + 2(-1) = 0 .

Nici o sansa.