Demonstrati ca suma cifrelor numarului natural

este egala cu suma cifrelor numarului

daca si numai daca numarul

se divide cu 9.

In primul rand plecam cu
__
ab = N

numar natural si observam ca suma cifrelor lui N, notata cu s(N) si N dau acelasi rest la impartirea cu 9. (Acesta este un criteriu de divizibilitate cu 9 care se invata pe clasa a V-a sau a VI-a, de multe ori fara demonstratie.)

Noua ni se da faptul ca N si 5N au aceeasi suma a cifrelor.
In particular, N si 5N dau acelasi rest la impartirea cu 9.
Deci diferenta 4N = 5N - N se divide cu 9.

Ne-am redus acum la a verifica acest lucru pentru cele cateva numere
18, 27, ... , 90, 99
de doua cifre care se divid cu 9.
Fie chiar verificam, fie observam ca in cazurile
18, 27, ... , 90 suma cifrelor este 9 si ca daca inmultim cu 5 nu dam de suma 18, urmatoarea suma care ar intra in discutie, lucru clar pentru numerele pare macar... apoi pentru cele impare avem un 5 drept ultima cifra si mai trebuie sa facem ceva.
Apoi pentru 99 avem 5 . 99 = 495, usor de verificat.