[Citat]
Va multumesc pentru raspuns !
|
Ceea ce am vrut sa spun, de data asta in cuvinte nesofisticate (dar nu neaparat excate matematic), merge cam asa.
In problema cadrul probabilistic nu a fost fixat.
Cel ce a propus problema ne da aceasta sarcina in plus, care este parte de modelare, nu de matematica. Facem ceea ce "se face" in astfel de cazuri. Daca aruncam cu zarul, este clar ca trebuie sa vedem care este multimea rezultatelor posibile, bun, o luam, este multimea {1,2,3,4,5,6}, multime pe care trebuie sa o dotam cu o probabilitate.
In acest caz discret punem "masa" (pondere, probabilitate) doar pe multimile cu un element, pe atomi, deci pe
{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6},
de aici fiind clar ce "masa" / probabilitate punem de exemplu pe {2,3,6} .
Sa mergem acum la problema. In problema se arunca la tinta de doua ori pe circumferinta unui cerc. "Rezultatele" posibile sunt acum multimea din care putem luca un tuplet
( z, w )
unde atat z cat si w sunt pe cercul C din enunt.
Deci la o prima privire, spatiul "rezultatelor" este produsul cartezian
C x C .
Prefer sa privesc aici cercul C insa ca fiind (echivalent din punctul de vedere al teoriei masurii) intervalul "unghiurilor la centru" care determina un punct pe cerc. Deci inlocuim C-ul cu intervalul I = [ 0, 2 pi ], suntem acum pe un interval real (nu pe o varietate geometrica "mai complicata".
Bun, deci spatiul "rezultatelor" este
I x I ,
in care vedem un punct (s,t) din acest spatiu pe post de tupletul de pe cerc ce corespunde celor doua unghiuri la centru s si t, masurate in radiani. (Deci luand valori de la 0 la 2 pi . Faptul ca luam 0 "de doua ori", odata cu 0 apoi cu 2 pi nu este grav, probabilitatea de care ne legam in curand va pune sansa zero pe aceasta coincidenta.)
Bun, acum trebuie sa punem o masura de probabilitate pe I x I.
Nu stiu ce s-a facut si ce nu s-a facut la curs, dar a da o astfel de structura de probabilitate revine la a da un triplet
( Omega, F, IP )
in care Omega este "spatiul" ca multime,
F este o sigma-algebra (totalitatea evenimentelor care pot fi percepute probabilistic prin IP-ul care vine, este o adunatura=colectie=multime de parti=multimi ale lui Omega, colectia fiind inchisa la luarea complementului si la reuniune (si intersectie) (cel mult) numarabila),
IP este o functie de la F la [0,1] care este "disjunct aditiva" .
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_space
Ei bine, daca la afacerea cu zarul afacerea este simpla,
Omega = { 1,2,3,4,5,6 }
F = P( Omega ) = Multimea putere a lui Omega = { A : A submultime in Omega }
IP : F -> [ 0,1 ],
IP(A) = (cardinalitatea lui A) : (cardinalitatea lui Omega)
la afacerea cu I x I nu mai este asa usor.
In primul rand Omega = I x I .
Apoi trebuie sa stim teoria masurii pe IR pentru a face ceva mai departe. Acest curs de teoria masurii construieste sigma-algebra pe IR care este "generata de toate intervalele". Aceasta sigma-algebra se numeste sigma-algebra borelienilor, dupa Armand Borel, matematician francez. (Constructia lui pleaca de la un spatiu topologic, deci practic dam "deschisii" pe un spatiu, pe care "il extinde", luand tot ce putem obtine din deschisi prin reuniuni numarabile si luare de complement.)
http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_sethttp://de.wikipedia.org/wiki/Armand_Borel
Daca asa ceva nu s-a facut in curs e rau.
Insa cel ce tine cursul vrea sa ajunga la ceva, fara a intra prea mult in bucataria matematica. In acest caz, daca se leaga pe spatiul pe care se afla de o "variabila aleatoare" care este "inca frumoasa", de exemplu functie continua (sau integrabila - dar atunci trebuie inca sa stim sa integram pe IR² macar si/sau de Fubini si/sau de integrala Riemann), atunci tot ce trebuie sa stim este sa integram aceasta functie.
Este ceea ce fac si eu mai sus.
Daca sunt intrebari, cu incredere. Acesta este un loc bun de discutat si strict matematic, si legat de modul de apucare treptata a materiei. Astfel de locuri sunt destul de rara, seminarul ar fi locul potrivit, dar timpul este limitat si mie imi mergea pe vremuri cam la fel, intrebarile veneau cand aveam mai multe carti deschise in fata. In general, astfel de discutii sunt foarte importante si sunt rar duse in limba romana. Teoria probabilitatilor este foarte importanta (din punctul de vedere al formarii gandirii, luarii de decizii in viata si in stiinta, al asigurarii unui loc de munca pe viata - de exemplu la o banca sau la o asigurare... in orice caz viitorul ii favorizeaza pe cei ce inteleg jocul strans dintre probabilitati legate de durata medie de viata a unui om, a unui produs financiar (fie actiune, fie valuta) - corelarea fiind deja prezenta si parte din realitate. De multe ori, o banca "cu cap" poate da credit daca cel ce ia creditul se asigura in acelasi timp pe viata sau contra falimentului, lucru care costa, dar din punct de vedere macroeconomic se ajunge la un anumit nivel de lichiditate al pietii, mereu se gaseste echilibrul economic, de exemplu in moment au cazut preturile pe valori imobiliare, lucru care a aparut exact in momentul in care dobanzile au crescut, deoarece credibilitatea a scazut.)
Access general
Conţine mesaje necitite
