S? se rezolve ecua?ia diferen?ial?

[Citat] S? se rezolve ecua?ia diferen?ial?

[Citat] in care ne mai ramane sa cautam doar functia $u$ de $y$.de

Cum a?i g?sit forma lui

?

(Si deseori gresesc la un astfel de punct, mai ales ca din ce in ce mai rar pun mana pe stilou si hartie.)

Îmi pare r?u ca trebuie s? revin, dar eu ob?in urmatorul rezultat:

[Citat] Îmi pare r?u ca trebuie s? revin, dar eu ob?in urmatorul rezultat:

Nici o problema, revenim pana totul e clar.
Mai sus am introdus o constanta (importanta), cu semnul minus, chestie de gust, motivul pentru care am facut asa ceva este faptul ca daca vrem sa il izolam pe x, trebuie sa ducem totul pe partea celalata.

In fine, din cele de mai sus avem
u(y) = -1/y - C ,

unde C este o constanta care depinde de conditii initiale (de exemplu).

Desigur ca putem integra mai intai dupa y, cum este cazul mai sus chiar, apoi ne asteptam sa avem nevoie de o ajustare cu o functie ce depinde doar de x.
"Din intamplare" nu mai avem nevoie de ajustare (decat cu o functie constanta de x).


NOTA:
Important a fost sa verificam ca cele doua functii
a(x,y) si b(x,y)
din

omega(x,y) = a(x,y) dx + b(x,y) dy

sunt "compatibile" in sensul de mai sus.
In geometria diferentiala avem o "1-forma diferentiala inchisa" (notata de obicei cu omega sau cu ceva asemanator), in sensul ca daca diferentiem dam de zero. Apoi fiind pe un domeniu conex, simplu conex...

http://en.wikipedia.org/wiki/Closed_and_exact_differential_forms#Examples_in_low_dimensions
http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_form#Integration

Intotdeauna cand ne aflam intr-o astfel de situatie cautam o functie F(x,y) care
- derivata dupa x genereaza a(x,y) si
- derivata dupa y genereaza b(x,y) .

Atunci integram dupa x functia a(x,y).
Dam de o functie G(x,y), in orice caz alegem una sa fie continua si diferentiabila (total) in (x,y).
Din cele stiute de pe clasa a XII-a, acest G difera de F-ul final printr-o "constanta fata de x", deci print-o functie de y.

Cautam deci u din
F(x,y) = G(x,y) + u(y),

diferentiem dupa y,
dam de
b(x,y) = (derivata lui G dupa y)(x,y) + u'(y) .

Asa ceva se poate rezolva deoarece diferenta
b(x,y) - (derivata lui G dupa y)(x,y)
nu depinde de x,
deoarece derivand aceasta diferenta dupa x dam de 0-0 din conditia de compatibilitate (din faptul ca putem schimba ordinea derivatelor partiale) (din faptul ca avem o 1-forma inchisa).

V? mul?umesc pentru ajutor.