[Citat] determinati o primitiva a functiei 1)f(x)=1/(5-4cos(x)) pe intervalul [0,2pi] 2)f(x)=arctg(sqrt(x)), x>=0

1)

Folosim substitutia :

=>

Deci :

Revenind in variabila x rezulta

Pe intervalul

nu este definita in

deci F(x) va fi de forma :

Si punand conditii de derivabilitate obtinem in final si raspunsul:

(sau ne uitam in variantele de raspuns si vedem ca asta e singura forma luata pe ramuri...deci nu mai trebuie sa pierdem timp si cu constantele)(banuiesc ca e vorba de problema 2.979 de politehnica,nu?)



2)

Folosind metoda de integrare prin parti, alegem functiile :

Deci :

Dar

=>

dap, au fost problemele 978 si 979, editia din 2003
mersi mult :D

[Citat] Intr-adevar, asa este. Am copiat eu raspunsul aiurea. In continuare, de la capitolul cu derivate

1. Avem

• 
  
  
• Evident
  
  
  
• Prin logaritmare si folosind l'Hopital obtinem
  
  
  

Deci

. Evident, problema poate fi rezolvata direct prin calcule (limite) crancene.

2. Deoarece

rezulta

deci

3. Curbele

se intersecteaza in (1,1). Avem

iar derivatele laterale in x=1 NU coincid. raspunsul consta in singletonul {1}.

4. Substituind

rezulta

Derivand de doua ultima egalitate obtinem

Impartind cu

si mutand totul in membrul stang,

deci toata tarasenia este egala cu zero.

5. Nu inteleg intrebarea. Din definitia functiei avem f(x)=3 daca si numai daca x=-1, dar functia nu este inversabila (este 'local' inversabila, dar asta nu este materie de liceu.

Doua din problemele de mai sus isi trag radacinile din ecuatii diferentiale de ordinul doi (materie cam de anul doi de facultate).

Sa se calculeze limita sirului

, unde

(admitere politehnica 2005, problema 16)

[Citat] Sa se calculeze limita sirului , unde (admitere politehnica 2005, problema 16)

Notezi cu

. Atunci

, privit ca functie de variabila y este:

Derivata a doua a celui de al doilea termen din paranteza este

si converge la zero. Derivata a doua a primului termen este

deci

.

[Citat] 5. Nu inteleg intrebarea.

imi pare rau, era f la -1 totul derivat acolo. am rezolvat pana la urma si mi-a dat -1/4

altceva

fie g(x)=e^(sqrt(x)) + e^(-sqrt(x)), x>=0. sa se determine lim g^(n)(x) cand x->0. acolo este g derivat de n ori.

iar raspunsul este 1/(2^(2n-1))!!

[Citat] altceva fie g(x)=e^(sqrt(x)) + e^(-sqrt(x)), x>=0. sa se determine lim g^(n)(x) cand x->0. acolo este g derivat de n ori. iar raspunsul este 1/(2^(2n-1))!!

Acel raspuns nu e corect. Dezvoltand in serie de puteri (rezultat ce rezulta din teorema lui Taylor), avem

De aici, rezulta

O alta cale de abordare este sa observam ca functia g satisface ecuatia diferentiala

de unde, derivand succesiv, deducem o relatie de recurenta si in final putem obtine (mai complicat) acelasi rezultat ca mai sus. Poti verifica 'cu mana' ca rezultatul difera de cel pe care-l mentionezi, luand n=2! Nu am gasit o abordare mai potrivita materiei de liceu! Evident, nu vrem sa ne murdarim cu prea multe calcule!

mda, asta e o problema la care va trebui sa tin minte raspunsul :-<
nici profesorul de la clasa nu prea a stiut sa imi explice in termeni pe care sa ii inteleg. incepuse ceva cu sinus si cosinus hiperbolic dar... nah, am renuntat si l-am intrebat alta.
multumesc mult, o sa revin.

[Citat] mda, asta e o problema la care va trebui sa tin minte raspunsul :-< nici profesorul de la clasa nu prea a stiut sa imi explice in termeni pe care sa ii inteleg. incepuse ceva cu sinus si cosinus hiperbolic dar... nah, am renuntat si l-am intrebat alta. multumesc mult, o sa revin.

Nu e mare scofala. Cosinus si sinus hiperbolic se definesc astfel:

Aceste doua functii au proprietati oerecum similare cu sinus/cosinus 'normal', ceea ce nu este o intamplare, avand in vedere ca

Nu intru in detalii in legatura cu sensul ultimelor identitati.

In orice caz, daca nu-ti plac seriile, incearca metoda a doua, cea cu ecuatia diferentiala. Vei obtine o relatie de recurenta intre derivatele functiei.

multimea valorilor parametrului real si pozitiv a pentru care

lim(1/x^a - (ctgx)^a) are valoare finita

x->0