fie f:R->R, f(x)= (X*X+1)/(X*X*X*X+1) - ne propunem sa gasim o primitiva a functiei f.
Pt. x<>0 ( in redactare matematica = taiat :P ) avem : f(x)= (1+ 1/X*X)/(X*X+ 1/X*X) - facem schimbare de variabila (x - 1/x)=t ;;; dt=(1+ 1/X*Xdx ;;; dx=dt/(1+ 1/X*X)
I=integrala(dt/(t*t)+2) = 1/radical(2) * arctg[t/radical(2)] + C
=> pe (-infinit,0) sau (0, +infinit) avem integrala[f(x)]dx= 1/radical(2) * arctg[X*X-1/X*radical(2)] + C
f continua pe R => f admite primitive pe R
explicitam F(x) care are 3 ramuri-: 1/radical(2) * arctg[X*X-1/X*radical(2)] + C1 , ptr x<0
C2 , ptr x=0
1/radical(2) * arctg[X*X-1/X*radical(2)] + C3 , x>0

F continua in x=0 , daca limitele laterale in punctul 0 sutn egale, Fs(0)=Fd(0)=F(0)

=> pi/2radical(2) + C1=C2= -pi/2radical(2) + C3
C1=0 => C2=pi/2radical(2) , C3=pi/radical(2)

deci F(x) are forma : 1/radical(2) * arctg[X*X-1/X*radical(2)] , ptr x<0
pi/2radical(2) , x=0
pi/radical(2) + 1/radical(2) * arctg[X*X-1/X*radical(2)] , ptr. x>0

Sper sa nu mi se fi strecurat greseli ...

kry...latexul e relativ usor de folosit!

Solutia lui kry. Facem schimbarea de variabila

si obtinem

Solutia "standard" (descompunere in fractii simple). Pentru a usura calculele facem mai intai schimbarea de variabila

.

Fiecare din integralele de mai sus se trateaza similar cu schimbarile de variabila

respectiv

:

Evident, pentru a ajunge la acelasi rezultat mai avem putin de muncit (tangenta sumei de unghiuri, etc)

ms.interesanta schimbarea de variabila!te duce la rezultat foarte usor.

pacat ca nu este o 'tactica' de aplicare a lor, decat prin exercitiu...adica sa ai norocul sa ai ceva asemanator cu ce ai mai facut.

sau ma insel?

.1.

,

f - continua ,

Sa se calculeze

unde [x] reprezinta partea intreaga a numarului x.


.2.
Sa se calculeze

EDIT : varianta corectata

[Citat] .1. , f - continua , Sa se calculeze unde [x] reprezinta partea intreaga a numarului x. .2. Sa se calculeze

Unde se inchide paranteza dreapta?

[Citat] .1. , f - continua , Sa se calculeze unde [x] reprezinta partea intreaga a numarului x. EDIT : varianta corectata

Luand succesiv

in relatia satisfacuta de functie, avem

Adunam aceste relatii si obtinem

Trecand la limita cu

si folosind continuitatea in 0 a lui f, avem

. Limita ceruta se transforma in

.

Studiem limitele laterale.

Pentru valori mici pozitive ale lui x (si cand x converge la 0, devine foarte mic) avem

. Deci limita la dreapta este

Pentru valori mici negative ale lui x (si cand x converge la 0, devine foarte mic) avem

. Deci limita la stanga este

Cum limitele laterale sunt diferite, limita in 0 nu exista.

EDIT: finalul a fost corectat.

[Citat] ... avem . Limita ceruta se transforma in . Pentru valori mici ale lui x (si cand x converge la 0, devine foarte mic) avem . Deci limita este

Nu prea sunt lamurit cu acest 0. Daca x->0 (cu valori mai mari decat 0!!!) atunci [2x]=0, dar x tinde catre 0, deci nu este caz de nedeterminare?
Daca x->0 , cu valori mai mici decat 0, atunci

...si de aici iarasi vin alte probleme.

De la acest rezultat

daca stim relatia :

si impartim prin x (iarasi discutie daca x<0 sau nu), trecand la limita, vom avea

(daca x>0), deci

??

...nu mai pricep nimic, dar de acel raspuns 0 nu prea sunt convins

[Citat] [Citat] ... avem . Limita ceruta se transforma in . Pentru valori mici ale lui x (si cand x converge la 0, devine foarte mic) avem . Deci limita este Nu prea sunt lamurit cu acest 0. Daca x->0 (cu valori mai mari decat 0!!!) atunci [2x]=0, dar x tinde catre 0, deci nu este caz de nedeterminare? Daca x->0 , cu valori mai mici decat 0, atunci ...si de aici iarasi vin alte probleme.

Corect! Am facut corectura mai sus.

[Citat] De la acest rezultat daca stim relatia : si impartim prin x (iarasi discutie daca x<0 sau nu), trecand la limita, vom avea (daca x>0), deci ?? ...nu mai pricep nimic ....

Cum limitele in extremitatile inegalitatii nu coincid, aceasta metoda nu ofera informatii asupra limitei. Nu putem trece la limita in aceste inegalitati caci nu stim ca exista limita si NU PUTEM APLICA CRITERIUL CLESTELUI!