bun voi fi atunci mai explicit:
demonstrez ca sirul (an)pentru n>=1 de termen general an=suma de la k=1 la n din 1/k nu este fundamental.
lim an pentru n tinzand la infinit este egala cu infinit.
evaluam a indice n+p minus a indice n care este egal cu 1/(n+1)+
1/(n+2)+..........+1/(n+p)este mai mic decat un epsilon.
alegem p=n>=2 oricat ar fi epsilon >0 astfel incat n>=N si scriem ca
1/(n+1)+1/(n+2)+ ......+1/2n < epsilon (1)
sau 1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/2n>=1/2n+1/2n+1/2n+....=n/2n=1/2
deci sirul (1)nu poate fi adevarat pentru epsilon<=1/2
In consecinta sirul suma din(1/k) nu este fundamental
Acum daca functionam cu criteriul comparatiei ca cos este totdeauna mai mic decat unu rezulta ca si seria mea este divergenta.
Este corect asa?

[Citat] bun voi fi atunci mai explicit: demonstrez ca sirul (an)pentru n>=1 de termen general an=suma de la k=1 la n din 1/k nu este fundamental. lim an pentru n tinzand la infinit este egala cu infinit. evaluam a indice n+p minus a indice n care este egal cu 1/(n+1)+ 1/(n+2)+..........+1/(n+p)este mai mic decat un epsilon. alegem p=n>=2 oricat ar fi epsilon >0 astfel incat n>=N si scriem ca 1/(n+1)+1/(n+2)+ ......+1/2n < epsilon (1) sau 1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/2n>=1/2n+1/2n+1/2n+....=n/2n=1/2 deci sirul (1)nu poate fi adevarat pentru epsilon<=1/2 In consecinta sirul suma din(1/k) nu este fundamental Acum daca functionam cu criteriul comparatiei ca cos este totdeauna mai mic decat unu rezulta ca si seria mea este divergenta. Este corect asa?

In matematica exista un oarecare principiu al economiei,
este bine ca o solutie sa fie digerata si scrisa "economic", astfel incat idea ei sa transpara in primul rand.
In primul rand trebuie sa fie clar ce demonstram. In cele ce urmeaza mi-a fost clar abia la sfarsit ce (incercam sa) "facem".

In trecere este bine sa observam de la inceput ca prezentarea ca text lasa mult de dorit.

[Citat] bun voi fi atunci mai explicit: demonstrez ca sirul (an)___LOC GOL_pentru n>=1 de termen general an=suma de la k=1 la n din 1/k nu este fundamental. lim an pentru n tinzand la infinit este egala cu infinit. evaluam a indice n+p minus a indice n care este egal cu 1/(n+1)+ 1/(n+2)+..........+1/(n+p)este mai mic decat un epsilon. CINE ESTE DEODATA ACEST EPSILON? Compiler-ul meu matematic se opreste aici din citit. Urmeaza doar bunavointa... alegem p=n>=2 oricat ar fi epsilon >0 astfel incat n>=N CINE ESTE DEODATA ACEST N? Compiler-ul meu de bunavointa se opreste aici din citit. Urmeaza doar culanta...si scriem ca 1/(n+1)+1/(n+2)+ ......+1/2n < epsilon (1) sau 1/(n+1)+1/(n+2)+.....+1/2n>=1/2n+1/2n+1/2n+....=n/2n=1/2 deci sirul (1)nu poate fi adevarat pentru epsilon<=1/2 In consecinta sirul suma din(1/k) nu este fundamental Acum daca functionam cu criteriul comparatiei ca cos este totdeauna mai mic decat unu rezulta ca si seria mea este divergenta. Este corect asa?

NU.

In plus nervii celor ce citesc sunt deja ajusi la o oarecare tensiune.
Nu scriu aceste lucruri cu dusmanie, rog a fi inteles obiectiv, daca asa ceva mi s-ar face la un examen, eu fiind examinatorul, nu as putea decat sa pun nota maxima 6. In cele de mai sus se argumenteaza incalcit pentru a arata ca seria armonica diverge. "Acealasi argument" este prezentat mai compact si mai clar:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...

este mai mare decat

1/2 + ( 1/4 + 1/4 ) + ( 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...
= +oo .

Si acum revenim la problema si la cele postate ceva mai inainte...

[Citat] [Citat] d-le profesor rationamentul facut de mine mai sus este corect?multumesc pentru apreciere Nicidecum. A?i ar?tat c? seria dat? are suma mai mic? decât una divergent?. Asta nu spune absolut nimic despre natura ei.

Cititi va rog cu atentie cele scrise de cei ce raspund mai intai.

Chiar daca stim ca seria armonica diverge, asa cum s-a "argumentat" mai sus, inca avem o inegalitate pe dos in argumentarea:

[Citat] buna eu as proceda astfel: avand in vedere ca orice cos este_LOC GOL_<=1 vom avea: suma de la 1 la infinit din (1/n)cos(n+1)/n^2 <= suma de la 1 la n din i/n Ramane sa stabilim acum cum este suma de 1/n care nu cred ca necesita probleme.

Va rog sa cititi cele scrise si sa le analizati critic din punct de vedere logic. (Concergenta seriilor nu o luam prea des cu noi in viata, dar logica trebuie sa fie beton...)

Veti vedea ca daca stampilam seria din postarea initiala a fi divergenta, avem nevoie de o minorare cu o serie divergenta, nu de o majorare cu o serie divergenta. Deci avem nevoie de inegalitatea cealalta, ceva de forma

orice cos care *chiar intervine* este_LOC GOL_>= ??? ...

si acum ajunge sa ne uitam la:

[Citat] [Citat] Folosi?i faptul c? pentru avem deci

Aceasta este o pagina de didactica.
Lucrurile acestea nu se gasesc in nici un manual, noi nu putem aici decat sa atragem atentia asupra unor greseli (care sunt sau pot deveni) mai mult sau mai putin sistematice si care trebuie eradicate din start.

Aceleasi probleme le au mii de elevi / studenti si anume dintre cei ce lucreaza cat de mult le permite viata.

Sfatul meu este urmatorul:
Cu cat se acorda mai multa atentie structurarii, organizarii compacte a materiei, cu atat este mai usor de trecut prin matematica. Mereu trebuie avut in vedere ce se da si ce se cere.
La un examen (sau pe aceasta pagina) conteaza foarte mult comunicarea si perceperea / intelegerea punctului pe care "partenerul de discutie" il aduce in discutie.

A trebuit sa intervin, lucrurile trebuie mereu clarificate fara echivoc pe o pagina de matematica.

[Citat] A trebuit sa intervin, lucrurile trebuie mereu clarificate fara echivoc pe o pagina de matematica.

Nu. Uneori renun?i, având în vedere experien?a post?rilor anterioare.

Da aveti dreptate in legatura cu exprimarea a fost facuta in graba.Scuze.
Cat priveste divergenta acum vad care de fapt a fost eroarea mea:
deci daca avem doua serii an si bn cu an<=bn daca suma din an este divergenta atunci si suma din bn este divergenta.
Reciproca insa nu este intotdeauna adevarata asta este.

[Citat] deci daca avem doua serii an si bn cu an_<=_bn si daca suma din an este divergenta (si/dar tinde) spre +oo , atunci si suma din bn este divergenta. Reciproca insa nu este intotdeauna adevarata, asta este.

(Am vrut doar sa sugerez de ce anumite examene orale nu se deruleaza fara mici sifonari, profesorii sunt mereu nemultumiti cand cine stie ce detaliu nu a fost articulat cum trebuie.)

da asa este dar nu trebuie sa va suparati
Noi propunem niste rezolvari si bineinteles ca dvs le apreciati si le corectati dupa cum este cazul.
Eu totusi ma gandesc ca ne-am putea servi de faptul ca cos este totdeauna <1
ramane sa ma mai gandesc eventual adica sa plasam seria cu cos sub seria fara cos
si de aici sa rezulte divergenta seriei cu cos dar bineinteles altfel nu cum am facut eu initial.

[Citat] da asa este dar nu trebuie sa va suparati Noi propunem niste rezolvari si bineinteles ca dvs le apreciati si le corectati dupa cum este cazul. Eu totusi ma gandesc ca ne-am putea servi de faptul ca cos este totdeauna <1 ramane sa ma mai gandesc eventual adica sa plasam seria cu cos sub seria fara cos si de aici sa rezulte divergenta seriei cu cos dar bineinteles altfel nu cum am facut eu initial.

@ Gauss: Ce ziceam? Asta e...

vreau totusi sa scriu in detaliu ce m-a intrebat dl.prof.Gauss in legatura cu epsilon si N:
deci pornim de la ideea ca sirul lui an este fundamental.
Atunci oricare ar fi epsilon>0 exista un N depinzand de epsilon astfel incat oricare ar fi n>=N ,oricare ar fi p apartinand lui N sa avem:
val.absoluta din a indine n+p minus a indice n = 1/(n+1)+.....sa fie <epsilon.(1)
In relatia(1)alegem p=n>=2astfel ca oricare ar fi epsilon >0 exista un N egal cu N depinzand de epsilon astfel incat oricare ar fi n>=N sa avem:
1/(n+1)+1/(n+2)+.......< epsilon etc.
Mai departe am scris demonstratia in textul initial.
Nu am vrut sa se creada ca am folosit intamplator pe epsilon si N.

[Citat] vreau totusi sa scriu in detaliu ce m-a intrebat dl.prof.Gauss in legatura cu epsilon si N: deci pornim de la ideea (mai bine) presupunem prin absurd ca sirul lui an este fundamental. Atunci oricare ar fi epsilon_>_0 ... exista un N depinzand de epsilon ...... astfel incat oricare ar fi n>=N , ...... oricare ar fi p apartinand lui N sa avem: val.absoluta din a indine n+p minus a indice n = 1/(n+1)+.....sa fie <epsilon. (1) In relatia_(1)_alegem p_=_n_>=_2_ astfel ca oricare ar fi epsilon >0 exista un N egal cu N depinzand de epsilon astfel incat oricare ar fi n>=N sa avem: 1/(n+1)+1/(n+2)+.......< epsilon etc. Mai departe am scris demonstratia in textul initial. Nu am vrut sa se creada ca am folosit intamplator pe epsilon si N.

Cele marcate in rosu nu au nici un sens.
In primul rand noi vrem sa facem rost de o contradictie.
Pentru a avea o contradictie in propozitia "... pentru orice epsilon > 0 ..." trebuie sa demonstram ca " ... exista un epsilon > 0 pentru care ..." .

Inainte sa scriem ce trebuie sa demonstram, mai bine nu scriem nimic.
Ce trebuie deci sa demonstram pentru a avea un sir care NU este fundamental (in conditiile date)?

Cele cu rosu nu au sens pentru ca toate literele care vin, vin din cer! Nu se stie cine sunt ele, de ce avem nevoie de ele si ce am demonstrat de fapt daca o anumita relatie nu are loc.

Aceasta este din nou o parte de logica:
Trebuie sa stim cum se neaga o propozitie...

Ce trebuie deci sa demonstram?

In postari va rog sa spatiati textul.
Tot asa cum in nici un manual, in nici un ziar si in nici o carte nu se inghesuie literele unele in altele, nici aici nu este indicat sa trecem la stilul superficial de pe anumite chat-roomuri nematematice.

Intelegera incepe prin paginarea textului.