Aratati ca daca a<2 si b>2 sunt numere reale, atunci:

buna seara voi incerca sa dau eu o rezolvare:
avem g(x)=f1(x)+f2(x) in care f1(x)=(a^2+5)/(a-2) iar f2(x)=(b^2+5)/(b-2)
Calculam extremele pentru fiecare din aceste functii anuland derivata de ordin unu:
f'1(x)=derivata fractiei (a^2+5)/(a-2) in raport cu a care este egala cu
(a^2-4a-5)/(a-2)^2 =zero de unde deducem valorile radacinilor pentru a egale cu -1 si 5.
Din conditia de existenta a lui a rezulta ca valabila doar a=-1<2
f'2(x)=derivata fractiei (b^2+5)/(b-2) in raport cu b care este egala cu
(b^2-4b-5)/(b-2)^2 =zero de unde deducem valorile radacinior pentru b egale cu -1 si 5.
Din conditia de existenta a lui b rezulta ca valabila doar b=5>2
Valorile extreme pentru f1(x) si f2(x) sunt respectiv egale cu -2 si -10
Se poate demonstra ca aceste valori reprezinta valori maxime pentru care are loc egalitatea -2-10=-12 (conditia extrema).Pentru alte valori evident f1(x)<f1max(x)
iar f2(x)<f2max(x)si deci g(x)<12 ceea ce aveam de demonstrat.
Cred ca aceasta poate fi o rezolvare.

aduc aici urmatoarea corectura:
derivata a doua f''1(x) =(18a-36)/(a-2)^4 care deoarece a<2 este totdeauna mai mica decat zero deci avem pentru f1(-1)un punct de maxim
in schimb pentru f''2(x)=(18b-36)/(b-2)^4 care deoarece b>2 este totdeauna mai mare decat zero deci avem pentru f2(5)un punct de minim.
Aceasta satisface conditia relatiei f1(x)-f2(x)<=12

Buna seara
Da sigur problema se poate rezolva prin mai multe metode.

Metoda se poate aplica dupa nivel daca este de clasa a XI-a sau mai jos.

Multumesc.