[Citat]
Se considera triunghiul echilateral ABC.
Ducem din A trisectoarele AD si AE,
unde punctele D, E sunt pe (BC) astfel incat
m(BAD) = 20°
m(CAE) = 20°
Ducem din B trisectoarele,
laum
F apartine de (AD) si
G apartine de (AE)
astfel incat
m(ABF) = 20°
m(CBG) = 20°.
Mai ducem din B bisectoarea = mediana = ... si fie I intersectia ei cu (AE) .
Fie H intersectia dreptelor AD si BG.
(a) Demonstrati ca FI paralel cu BC
(b) Determinati masura unghiurilor triunghiului FGH. |
(a)
Deoarece I este pe mediatoarea lui AC, avem IA = IC, deci triunghiul IAC este isoscel cu unghiurile 20°, 20°, 140°.
Acelasi lucru il stim si despre FAB.
Deoarece AB = AC, cele doua triunghiuri IAC si FAB sunt congruente.
Acum fie folosim faptul ca triunghiurile AFI si ADE sunt isoscele,
fie aratam ca AFIC este trapez isoscel,
dam destul de repede de faptul ca FI este o dreapta paralela cu BC.
(b) Este bine sa vedem simetria figurii fata de mediatoarea laturii BC.
In aceasta simetrie se corespund:
B cu C,
F cu I,
trisectoarea BF cu trisectoarea CI,
tisectoarea BI cu bisectoarea CF...
Unghiul <( FGH ) este exterior in triunghiul GBC, deci are masura suma masurilor unghiurilor din B si C in GBC, deci 20° + 30° = 50° .
Unghiul <( FHG ) este exterior in triunghiul HAB, deci are masura suma masurilor unghiurilor din A si B in HAB, deci 20° + 40° = 60° .
P.S.
Pentru a intelege ce se intampla de fapt, recomand urmatorul lucru.
Uitam de toate cele de mai sus.
Desenam un cerc, in care inscriem poligonul regulat cu 18 laturi / varfuri.
Mai intai desenam un triunghi echilateral, pe care il notam cu ABC, apoi desenam trisectoarele si bisectoarele unghiurilor si locul in care intersecteaza din nou cercul, apoi completam la poligonul regulat si cu varfurile ce lipsesc.
Toate simetriile sunt acum naturale.
Vedem multe diametre, multe simetrii.
Unghiurile din triunghiul FGH pot fi de asemenea usor calculate vazand ce arcuri taie din cerc...
Access general
Conţine mesaje necitite
