Considetam numarul rational:

Aratati ca numarul a nu este numar intreg.

Nu stiu.

Nici o problema, sa incercam impreuna.
Luam primele zece (sa zicem) puteri ale lui 5 modulo 7.
Primele trei le dau eu:

5^1 = 5 este "5 modulo 7". (In sensul ca daca il impartim pe 5 la 7 cu rest, dam de (catul 0 si) restul 5.)

5^2 = 25 = 21 + 4 este "4 modulo 7". (In sensul ca daca il impartim pe 25 la 7 cu rest, dam de (catul 3 si) restul 4.) De fapt eu ma asteptam la asa ceva, deoarece in loc de (5 modulo 7)^2 putem lua la fel de bine (-2 modulo 7)^2 care este (-2)(-2) modulo 7, deci 4 modulo 7. Este important sa se vada ca putem schimba operatiile algebrice cu aceasta trecere modulo 7. Explicit:

(5^2 modulo 7)
= (5 modulo 7)^2
= (-2 modulo 7)^2
= ( (-2)^2 modulo 7 )
= 4 modulo 7 .

Si mai bine se vede cum stau lucrurile la urmatoarea putere, mai ales ca sunt lenes si refuz sa stiu ca 5^3 = 125. Voi lucra doar cu 5^2 . 5 pentru a vedea doar numere mici... (Mai mici ca 7, daca se poate, nu se poate chiar asa, dar nu voi depasi 6.6 = 36.)

Folosesc acel punct ("dot") ca semn al inmultirii.

(5^3 modulo 7)
= (5^2.5 modulo 7)
= (5^2 modulo 7) . (5 modulo 7)
= (4 modulo 7) . (5 modulo 7) pentru ca am calculat deja prima paranteza
= (4.5 modulo 7) pentru ca operatiile algebrice sunt compatibile cu "modulo"
= (20 modulo 7)
= (6 modulo 7)

(si unii oameni prefera chiar "(-1) modulo 7" in loc de "6 modulo 7".)

Mai departe este bine sa vedem care puteri mai vin la rand.
Asa putem decide daca numarul 5^2103 - 1 se divide cu 7 sau nu. Deoarece sase numere din sapte nu se divid, avem macar "sanse bune" sa nu se divida.
Daca vom fi clarificat ca numarul dat NU se divide cu 7, ceea ce inca nu stim, avem o anumita sansa sa aratam ca in expresia din problema initiala "ne ramane un 7 in numitor", care nu are cum sa se simplifice.

Insa pana una alta, care sunt primele cateva (sa zicem zece) puteri ale lui
5 "luate modulo 7", adica reduse la restul lor la impartirea cu rest cu 7?

Multumesc.
Am inteles ideea de rezolvare.
Resturile modulo 7 se repeta dupa 6 puteri si 5^{2013}-1 nu este divizibil cu 7.

Da, asa este, perioada este 6, lucram modulo 7 si
euler_phi( 7 ) = 6 ,
lucru care se generalizeaza pentru un N oarecare, la noi avem in particular N=7.

Functia phi a lui Euler spune ce perioada avem. (Uneori avem o perioada mai mica pentru anumite "baze", dar mereu va exista o baza primitiva care face apel la phi(N).)

Mai departe observam ca avem o suma de sapte fractii, dintre ele exact una are numitorul divizibil cu 7, celelalte sase nu. Daca le adunam pe cele sase fractii dam de un numar de forma A/B unde B nu se divide cu 7. Celalalt numar este de forma C/(7D) unde C nu se divide cu 7. De fapt C=1, dar nu ma intereseaza asa de explicit. Daca adunam brut:

A/B + C/(7D)

dam de numitorul 7BD si de numaratorul

7AD + BC

care nu se divide cu 7 deoarece 7AD se divide cu 7, dar BC nu.
(Nici B, nici C nu se divide cu 7.)

Vedem deci ca 7 supravietuieste in numitor, nu se simplifica in paranteza cu suma celor sapte inverse de numere intregi consecutive nenule.
In problema mai ramane se vadem ca acest 7 nu se poate simplifica din cauza lui
5^2013 - 1 ...