Rescriu problema, incat punctele care se pun pe hartie mai intai sa fie date mai intai. Dupa parerea mea, schimbarea ordinii lucrurilor in enunt poate sa induca in eroare doar pe cei ce oricum nu au ce cauta in geometrie.
[Citat]
Se da paralelogramul ABCD.
Punctele E, F, G sunt mijloacele laturilor AB, CD si respectiv AD.
Punctul H este intersectia dreptelor CE si BG.
Punctul M este intersectia dreptelor AF si BG.
Paralela dusa prin punctul B la dreapta DH intersecteaza dreapta CE in punctul N.
Demonstrati ca dreptele MN si AB sunt paralele. |
Construim punctul X, mijlocul lui BC.
Rezulta ca avem perechile de drepte paralele
AF || EC (AECF este paralelogram avand doua laturi paralele, de lungimi egale) si
BG || XD (BXDG este paralelogram avand doua laturi paralele, de lungimi egale) .
Ele determina un paralelogram, in care doua varfuri sunt date de problema, H si M.
Notam varfurile opuse lor in acest paralelogram cu M' si H'.
Notatia cu acel "prim" este numai buna pentru a pune in evidenta simetria fata de centrul paralelogramului ABCD, pe care il notam cu O. Daca notam cu acest "prim" punctele ce se obtin prin simetrie, avem de exemplu
A' = C, C' = A,
B' = D, D' = C,
E' = F, F' = E,
G' = X, X' = G,
si desigur ca putem aplica simetria si pe multimi de puncte, de exemplu pe drepte, avem
(BG)' = B'G' = DX si invers,
(AF)' = A'F' = CE si invers.
Cel tarziu acum vedem ca paralelogramul format "la mijloc" are de asemenea centrul de simetrie O, deci notatia HMH'M' este indreptatita.
Deoarece prin simetrie fata de O se corespund (D cu B) si (H cu H') rezulta ca DHBH' este paralelogram. In problema intervine chiar aceasta paralela prin B la DH, no, acum stim ca este vorba despre dreapta BH'.
Deci N este intersectia dreptelor H'B si CE.
Ne uitam acum la triunghiul H'AB.
Pe cele doua laturi din H' avem punctele M si N, trebuie sa aratam ca MN || AB.
Este natural sa ne legam de proportii, raspundem mai intai la intrebarea "Unde se afla M pe H'A?".
Ca sa raspundem usor la aceasta intrebare, este bine sa ne imaginam si paralela prin A la GB si DX . Ca sa avem un nume pentru ea, fie Y pe CB, astfel incat CX = XB = BY .
Ei bine, paralelele DX, GB si AY sunt echidistante. (Ne uitam ce ravagii fac ele la taierea dreptei BC si ne-am lamurit.)
Orice dreapta care le taie este impartita deci in segmente congruente.
In particular H'M = MA .
Cu H'B avem cam acelasi joc, alte trei drepte paralele echidistante...
deci H'N = NB .
Deci MN este linia mijlocie in H'AB, deci MN || AB .
Access general
Conţine mesaje necitite
