Am nevoie de niste sugestii la urmatoarele probleme.
1) Fie A,B matrice de ordin 3(in complex) cu proprietatea (A-B)^2=O3.Aratati ca det(AB-BA)=0.
2) Fie A,B apartinand M(2n+1)(R) inversabile astfel incat det A diferit de -1 si A^(-m) + (A*)^m = (B*)^m + B^(-m) pentru m={1,2}. Demonstati ca A=B.
3) Fie ABCD un patrulater inscriptibil in care AC=BC. Fie E, F proiectiile lui C pe dreptele AD, respectiv BD. Aratati ca AE=BF.
Imi cer scuze ca nu am folosit LATEX, nu am invatat inca.
Multumesc.

Mai spatiez unde pot ca sa putem citi, si la ziar cam tot asa apar propozitiile.

[Citat] 1) Fie A, B matrice de ordin 3 (in complex) cu proprietatea (A-B)^2 = O3 . Aratati ca det( AB - BA ) = 0 .

Sa notam cu N matricea (nilpotenta)
N = A - B .
Pentru astfel de matrici exista o caracterizare / clasificare:
http://en.wikipedia.org/wiki/Nilpotent_matrix#Classification
Avem A = B + N , deci AB - BA = NB - BN
Deci dupa ce "schimbam baza" ajunge sa consideram cazul in care N-ul este o matrice cu blocuri "shift" diagonale. De aici totul este simplu, avem atatea zerouri, incat putem chiar calcula diferenta de produse.

Care este de fapt sursa problemei?
La ce nivel se asteapta solutia?

(2) Ce este A* ?

(3) Ne uitam la triunghiurile:
ACE si
BCF .

Problema 1) este de clasa a XI-a.

A* este matricea adjuncta a matricei A.
Daca
A=

, atunci

A*=

, unde

Aij=

este determinatul obtinut prin eliminarea liniei i si a coloanei j din matricea A.

A^(-1)=

Aveti vreo idee la problema 2, cea de demonstrat ca A=B?
Ce pot demonstra din (1/detA +1)A*=(1/detB +1)B* ?

Fara latex este greu de vazut care e enuntul, unde am ajuns, ce mai e de facut si cum e de facut... Enuntul este

[Citat]

Am o nelamurire in legatura cu ridicarea la putere a determinantului.
Stiam ca daca scriu (det A)^2= det^2 A, iar in exercitiu este det (A^2). Am luat 2 exemple si am vazut ca (det A)^2=det^2 A=det (A^2). E valabil pentru orice matrice?

Iar la functia respectiva de ce trebuie sa luam f(det C^2)=f(det D^2) si de ce rezulta ce rezulta?

[Citat] Am o nelamurire in legatura cu ridicarea la putere a determinantului. Stiam ca daca scriu (det A)^2= det^2 A, iar in exercitiu este det (A^2). Am luat 2 exemple si am vazut ca (det A)^2=det^2 A=det (A^2). E valabil pentru orice matrice?

Determinantul are urmatoarea proprietate de multiplicativitate:

Date doua matrici patrate A, B de aceeasi dimensiune N, are loc:
det( AB ) = det(A) det(B) .

Cred ca demonstratia ar trebui sa fie undeva in manual.
Demonstratia structurala este cea de la facultate in care se considera spatiul vectorial al aplicatiilor multilinare alternate cu N componente (coloanele...) peste un spatiu vectorial de dimensiune N (liniile...)

http://math.stackexchange.com/questions/177560/proving-determinant-product-rule-combinatorially
http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Multiplicativity_and_matrix_groups
http://www.proofwiki.org/wiki/Determinant_of_Matrix_Product

[Citat] Iar la functia respectiva de ce trebuie sa luam f(det C^2) = f(det D^2) si de ce rezulta ce rezulta?

Nu trebuie, dar am luat asa ceva.
In ipoteza ni se da o relatie complicata pentru m=1 si m=2.
Ei bine, ma ajuta so o iau pentru m=2.
Pentru ca sub f avem doua numere pozitive,

det C^2 si det D^2

si stim ca f este injectiva (fiind strict crescatoare) (restrictionata) pe ( 0, oo ) .

De aici dam de egalitatea
det C^2 = det D^2
din care putem repede deduce ceva mai departe.

Functia f ia fiecare valoare pe care o ia de doua ori cu exceptia punctului de minim. (Este o functie polinomiala de grad par. Cel mai bine i se studiaza monotonia luand functia x -> f(x-1) in locul lui f, derivata este mai simpla.)

Daca mai sunt intrebari, cu incredere!

Am inteles acum. Multumesc.