Buna seara,

Va cer si eu, daca se poate, ajutorul la doua probleme din doua capitole diferite :

I. Analiza Complexa :

Am de calculat

, unde

.

Observ ca z=0 este punct singular esential si

, adica :

,

,

- poli de ordinul 1

Dezvoltarea in ST pentru

este

Am dezvoltarea pentru

la care pentru z=0 gasesc

Intrebarile mele sunt :

1. Care este dezvoltarea cand z este punctul de la infinit ? Cum se calculeaza o dezvoltare pentru punctul de la infinit ?
Dar pentru z=1 punct regulat ? Aflu solutiile ecuatiei

de forma :

,

,

.
Cum verific usor ca solutiile unei ecuatii oarecare apartin cercului de raza R centrat in

sau daca sunt cuprinse in interior/exterior pentru a sti daca aplic teorema reziduurilor sau a semireziduurilor ?

2. Dupa ce inmultesc cele doua dezvoltari, cum mai exact culeg termenul

pentru reziduu ? Adica, am inteles ca eu caut in urma inmultirii dintre seriile aferente coeficientul lui

. Corect ? Cand caut coeficientul altui termen ? Cine sau ce decide termenul pentru reziduu din conditiile problemei ?





Teoria Probabilitatilor :

Se da problema : Fie

(imi cer scuze, nu stiu cum sa pot sa fac fontul mai mare pentru a se vedea mai clar)

Se cere sa aratam ca f este o functie de densitate, sa calculam E(X), V(X).
Nu inteleg cine este acel

. Are cumva aceeasi functie ca, de exemplu, simbolul lui Kronecker ?
Este o conditie suficienta sa arat ca

pentru a arata ca f este functie de densitate?



Va multumesc !
O seara placuta !

[Citat] Teoria Probabilitatilor : Se da problema : Fie Se cere sa aratam ca f este o functie de densitate, sa calculam E(X), V(X). Nu inteleg cine este acel . Are cumva aceeasi functie ca, de exemplu, simbolul lui Kronecker ? Este o conditie suficienta sa arat ca pentru a arata ca f este functie de densitate?

Acel I, de multe ori 1, se refera la functia caracteristica a multimii care apare ca indice (sau in paranteza uneori).
Pentru a vedea ca avem o densitate pentru o probabilitate (fata de masura dx pe IR), ajunge sa mentionam ca functia data este mai mare sau egala cu zero si sa calculam

Media se calculeaza aducandu-ne aminte de densitatea gaussiana.
Varianta vrea in calculul ei o substitutie asemanatoare cu cea de mai sus.

I. Analiza Complexa :

1. Pentru dezvoltarea fata de punctul de la infinit ( oo ) se face substitutia w = 1/z, ea duce z=oo in w=0 (si invers) si ajunge sa dezvoltam fata de w in zero.

Dezvoltarea fata de z = 1 este "la fel", compunere de dezvoltari in serie Taylor. Scriem de exemplu z = 1 + h . Consideram ca h se plimba in jurul lui zero.

exp( 1/(3z) ) cere sa calculam mai intai (1/3) 1/(1+h) . Desigur ca 1/(1+h) = 1 - h + h² - ... Substituim si dam de exp( 1/3) exp( -h/3 + ... ) si in al doilea factor putem folosi dezvoltarea cunoscuta a lui exp in jurul lui zero daca vrem sa gasim primii cativa termeni. Dar pentru mai mult e mai greu. Alternativ putem folosi de la inceput formula lui Taylor care ne obliga sa derivam de cateva ori si sa particularizam in 1.

Dar desigur ca nu ne trebuie (pentru problema data) dezvoltarea de mai sus in punctul regulat 1.

2. Ni s-a dat conturul C care are o interpretare geometrica simpla, este un cerc. Polii functiei de sub integrala sunt de asemenea usor de localizat geometric. Ramane sa comparam pozitia lor fata de cercul C.

Pentru a determina reziduul in a, ajunge sa dezvoltam dupa (z-a).
De cele mai multe ori substituim z = a + w si motivul pentru care a este un punct critic ne face sa dam des de numitorul w destul de repede. Daca singularitatea este esentiala, trebuie sa lucram mai mult.

3. Pentru a rezolva problema, ce se cere de fapt, sa ne uitam la polii din interiorul lui C sau la cei din exterior (considerand si punctul de la infinit pentru a da de un domeniu simplu conex pe o varietate analitica) ?

Sau trebuie chiar sa dam ambele solutii?
Ce teorema a reziduurilor putem sa folosim?