Sa se rezolve sistemul de mai jos si sa se arate ca orice solutie (x,y,z,t) apatinand R^4 verifica xyzt=-4;
y(x+2)+2=0
z(y+2)+2=0
t(z+2)+2=0
x(t+2)+2=0

Pot ajunge la un rezultat daca iau pe cazuri? y>=z =>...

Considera?i x=a (o constant?) ?i calcula?i y,z,t în func?ie de a.

(Nota:
Si calculatorul face "la fel", alege in ceea ce am cerut eu solutia in functie de prima lui litera, t, in loc de x, o considera drept un parametru r1...)
sage: var( 'x,y,z,t' );
sage: eq1 = ( y*(x+2) + 2 == 0) ;
sage: eq2 = ( z*(y+2) + 2 == 0) ;
sage: eq3 = ( t*(z+2) + 2 == 0) ;
sage: eq4 = ( x*(t+2) + 2 == 0) ;
sage:
sage: solve( [eq1,eq2,eq3,eq4], x,y,z,t )
[[x == -2/(r1 + 2), y == -(r1 + 2)/(r1 + 1), z == -2*(r1 + 1)/r1, t == r1]]

Nota: Daca vrem sa vedem direct cum se obtine xyzt = -4 din cele date, iata ce putem sa facem / sa cerem in sage:

sage: R.<x,y,z,t> = PolynomialRing(QQ)
sage: I = R * [ y*(x+2) + 2, z*(y+2) + 2, t*(z+2) + 2, x*(t+2) + 2 ]
sage: x*y*z*t + 4 in I
True
sage: ( x*y*z*t + 4 ) . lift( I )
[2, 0, x*y, -2*y]


Ultima linie ne indeamna sa calculam:
2 (xy +2y +2) + xy (tz +2t +2) - 2y ( xt +2x +2 ) .

)

Am scos y, z, t in functie de x si am aratat ca orice solutie (x,y,z,t) verifica relatia xyzt=-4.Totusi, nu inteleg de ce trebuie sa calculez:
2 (xy +2y +2) + xy (tz +2t +2) - 2y ( xt +2x +2 )

Nu trebuie, desigur.
Exista insa "puristi" care vor sa scoata relatia ceruta direct, din considerente algebrice. (De exemplu fara a introduce numitori si discutia aferenta.)