Se da triunghiul ABC, D,E,F pe latura (AB),D',E',F'pe latura (AC)astfel ca BD=CD',BE=CE',BF=CF'.Daca M,N,P sunt mijloacele segmentelor DD',EE',FF'aratati ca M, N, P sunt coliniare.

[Citat] Se da triunghiul ABC si fie D, E, F pe latura (AB), D', E', F' pe latura (AC) astfel ca BD = CD' , BE = CE' , BF = CF' . Fie M, N, P mijloacele segmentelor DD', EE', FF' . Aratati ca M, N, P sunt coliniare.

Solutia care nu face geometrie, ci algebra merge cam asa.
Punctelor date, scrise cu litere mari, le corespund numere complexe, folosim literele mici corespunzatoare pentru ele.

Fie v vectorul de lungime 1 care merge pe directia vectorului AB.
Fie v' vectorul de lungime 1 care merge pe directia vectorului AC.

Atunci exista numere reale s, t, u cu proprietatea ca avem:

d = b + sv ,
e = b + tv ,
f = b + uv ,

d' = c + sv' ,
e' = c + tv' ,
f' = c + uv' .

Atunci notand cu Y mijlocul lui BC, deci y = (b+c)/2, si cu w = (v+v')/2 avem:

m = y + sw ,
n = y + tw ,
p = y + uw .

Cele trei puncte se afla deci pe dreapta prin mijlocul Y al lui BC care are directia w .

---

O solutie sintetica este acum de exemplu urmatoarea, inspirata din spargerea algebrica de mai sus:
Construim paralelogramul BCAZ cu BC || ZA si ZB || AC .
Prin translatie de vector CB = AZ, ducem segmentul AC in segmentul ZB .
Sa notam atunci corespunzator cu D'', E'', F'' punctele de pe ZB care corespund punctelor D', E', F' de pe AC prin aceasta translatie.
Atunci mijloacele segmentelor D'D'', E'E'', F'F'' sunt desigur coliniare, ele se afla pe bisectoarea unghiului din B format de ´BZ si BA.

Translatam acum aceste mijloace cu jumatate din AC = D''D' = E''E' = F''F', deci cu BY pentru a obtine (teorema liniei mijlocii) exact punctele M, N, P.
Desigur ca translatia pastreaza coliniaritatea...


---

N.B.
O problema f(a)ina, este cumva din aceeasi carte afina?!

[Citat] Se da triunghiul ABC, D,E,F pe latura (AB),D',E',F'pe latura (AC)astfel ca BD=CD',BE=CE',BF=CF'.Daca M,N,P sunt mijloacele segmentelor DD',EE',FF'aratati ca M, N, P sunt coliniare.

Fie

simetricele lui A fata de M, N, respectiv P. Din paralelogramele formate obtinem:

si triunghiurile:

sunt isoscele si au unghiurile opuse bazelor congruente, deci:

sunt coliniare, deci si

sunt coliniare (G este mijlocul [AB]).
In plus,

unde O este mijlocul [CH], iar BH=AC.


PS: Fata de enunt, eu am luat punctele pe laturile [AC] si [BC], dar aceasta nu modifica nici enuntul nici rezolvarea.