Buna ziua
Am si eu de rezolvat urmatoarea problema:
sa se ordoneze crescator (descrescator) numerele 7^3 , 6^4 ,5^5 , 4^6 direct fara a se calcula valoarea acestor numere.
Ma gandesc ca o metoda ar fi sa le aduc la aceeasi baza sau putere dar necesita niste calcule complicate.Este vreo metoda mai simpla?
Problema ar necesita o generalizare?Adica ar exista o regula dupa care sa se ordoneze crescator (sau descrescator) numerele
n^p , (n-1)^(p+1), (n-2)^(p+2)....etc? ca si la fel numerele n^p , (n+1)^(p-1), (n+2)^(p-2)... ?
nivelul este de liceu.
Multumesc

Idee: trebuie sa studiem monotonia sirului

(am luat domeniul maxim posibil
de valori pentru k, care sa-mi pastreze baza puterii pozitiva)
Aplicam logaritm natural, deoarece nu schimba monotonia sirului,
ajungem astfel la a studia monotonia sirului

Aceasta sugereaza considerarea unei functii(pentru a o puteam studia cu ajutorul derivatei):

Derivata a doua e negativa->derivata I descrescatoare, pleaca de la ceva pozitiv si ajunge la ceva negativ. Deci se anuleaza intr-un singur punct.
Calculand f'(2) si f'(3) punctul acela e localizat intre 2 si 3.
De aici e simplu.
Bineinteles ca putem generaliza, considerand sirul

Jucandu-ne putin cu Wolphram alpha, mereu acest sir creste pana la punct, apoi descreste. Se poate aplica tot metoda cu functia, dar trebuie vazut unde localizam zeroul primei derivate, deoarece avem cam multa "variabilitate" pentru numerel naturale n si p.
Dar in principiu mereu sirul creste pana la un termen, apoi descreste. Acel termen nefiind neaparat la mijloc. Parca aveau si o denumire sirurile acestea...

Multumesc foarte mult rezolvarea este excelenta
Numai ca eu am omis sa spun ca problema este de nivel clasa a IXa si nu au fost inca studiate derivatele sau logaritmii.
In schimb au fost studiate sirurile si monotonia lor precum si teoria functiilor.
Eu am inteles rezolvarea ca am studiat aceste notiuni dar nivelul este de clasa a IX-a (eventual cu siruri cum ati sugerat Dvs).
Nu s-ar putea deduce monotonia sirurilor si altfel?Ca asa cum ati spus Dvs este vorba aici de modul in care evolueaza sirul respectiv.
Daca este posibila rezolvarea la acest nivel s-ar putea face?
multumesc

Buna ziua
Fac o revenire la urmatoarea problema:sa se ordoneze crescator(descrescator)urmatoarele numere:
9^1;8^2;7^3;6^4.....2^8;1^9 prin metode de nivel clasa a IX a
Problema a fost foarte perfect rezolvata de dl.prof.Cristi -dar eu voiam daca se poate sa se rezolve la acest nivel.
Cu aceasta ocazie multumesc foarte mult dlui prof.Cristi pentru rezolvarea facuta.
Cu stima

[Citat] Sa se ordoneze crescator (descrescator) urmatoarele numere: 9^1; 8^2; 7^3; 6^4 ... 2^8; 1^9

Din pacate, la nivel de clasa a IX-a singura si cea mai simpla solutie este calculul brut. Anume:

1^9 = 1
2^8 = 256
3^7 = 2187
4^6 = 4096
5^5 = 3125
6^4 = 1296
7^3 = 343
8^2 = 64
9^1 = 9

(O problema matematica nu poate fi formulata sub forma "sa se ... *fara* a se ..." . Daca cineva doreste sa faca din matematica ceva pur teoretic, lucru rau, sau sa ne oblige sa gandim, lucru bun, trebuie sa gaseasca enuntul care pune in evidenta acest lucru.)

Asa cum este formulata problema, nu ajunge sa stim doar ca sirul finit dat "mai intai urca, apoi coboara", trebuie sa stim sa si intercalam numerele de pe drum.
Este destul de greu (si lipsit de sens din punctul meu de vedere) de vazut in general cum stau unele numere fata de altele. Iata de exemplu codul si rezultatele cand mergem pana la 18:

(18:32) gp > N=18; for( k=1, N, print( k, "^", N+1-k, " = ", k^(N+1-k) ) )
1^18 = 1
2^17 = 131072
3^16 = 43046721
4^15 = 1073741824
5^14 = 6103515625
6^13 = 13060694016
7^12 = 13841287201
8^11 = 8589934592
9^10 = 3486784401
10^9 = 1000000000
11^8 = 214358881
12^7 = 35831808
13^6 = 4826809
14^5 = 537824
15^4 = 50625
16^3 = 4096
17^2 = 289
18^1 = 18

Mai sus este "greu de spus" fara calcul sau fara comparatie explicita cum stau numerele 4^15 si 10^9 unul fata de altul...

Nota: Am folosit pari/gp pentru calculele de mai sus.

buna seara
Multumesc foarte mult atat dl.prof.Cristi cat si dl.prof.Gauss.
Calculul dlui prof.Cristi este la obiect iar cat priveste parerea dlui prof Gauss nici vorba sa ma mai indoiesc-daca dansul spune asa este sigur!
Trebuie sa facem calculul brut cum spune dumnealui iar in clasele superioare vom aplica calculul dlui prof.Cristi!
Scuze pentru deranj

M-am bagat in vorba numai pentru a accentua faptul ca noul enunt

[Citat] Sa se ordoneze crescator (descrescator) urmatoarele numere: 9^1; 8^2; 7^3; 6^4 ... 2^8; 1^9

vrea "mult mai mult", anume, noul enunt nu se multumeste doar cu informatia

1^9 = 1
care este strict mai mic decat
2^8 = 256
care este strict mai mic decat
3^7 = 2187
care este strict mai mic decat
4^6 = 4096

SI

4^6 = 4096
care este strict mai mare decat
5^5 = 3125
care este strict mai mare decat
6^4 = 1296
care este strict mai mare decat
7^3 = 343
care este strict mai mare decat
8^2 = 64
care este strict mai mare decat
9^1 = 9

ci vrea ceva de forma:

1 < 9 < 64 < 256 < 343 < 1296 < 2187 < 3125 < 4096

Intercalarea culorilor arata ce se vrea in plus.

Domnule profesor Gauss, intr-adevar unele comparatii necesita calcul brut, insa cea pe care ati specificat-o dvs: 4^15 si 10^9 nu necesita calcul brut!

4^15=2^30;
10^9=2^9*5^9;

Ramane de comparat 2^21 si 5^9, care esti evident mai usor de calculat!

Insa avem:
2^21=4^9*2^3;
5^9;

Adica 4^3*2 cu 5^3 si se oberva ca 4^3*2=128, 5^3=125.

Acesta a fost un exemplu...insa se mai pot face cateva de genul acesta.
De asemenea, domnule profesor, nu va contrazic cand spuneti ca necesita calcul brut (marea majoritate), insa unde se poate sa ne usuram munca

Da, multumesc, asa este, in momentul in care deschidem noul front si incepem sa comparam fiecare cu fiecare, putem sa ne legam de spargerea puterilor si de un calcul in domeniul acceptabil pentru un participant la olimpiada nationala romana. Dar sa nu uitam ca aceeasi problema ar avea la olimpiada omoloaga vietnameza metoda vietnameza de lucru,
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=8&ID=19727
totul ar fi mult mai repede gata...

In plus am spus:

[Citat] Mai sus este "greu de spus" fara calcul sau fara comparatie explicita cum stau numerele 4^15 si 10^9 unul fata de altul...

Mai sus avem o comparatie explicita (spargerea in bucati) si in plus tot comparam ceea ce obtinem din calcul, anume 125 cu 128.
Pentru mine este aceeasi afacere sa comparam 125 cu 128 sau 1000000000 cu 1073741824... Chestie de gust. Pe clasa a V-a m-au torturat cu astfel de inegalitati care se reduceau la una sau alta din inegalitatile care aduc

log(A) / log(B)

aproape de un numar rational.
In cazul nostru m-am gandit la
10^3 = 1000 < 1024 = 2^10
urmand sa ridicam la puterea a treia
si de aceea chiar am ales acest exemplu...

Aaa, nu am observat ca ati scris si de comparatie explicita. Mi-au "sarit" in ochi calculele, de asta am detaliat putin exemplul dvs. Ati spus ca este aceeasi afacere pt. dvs. sa comparati 125 si 128 sau sa comparati rezultatele calculelor 10^9 si 4^15. Hmm :-? Da, e aceeasi afacere, dar facand calculele riscati sa la gresiti (e ceva normal cand lucram cu numere atat de mari)! Ca si dvs. si eu am fost nevoit sa fac calcule la greu in clasele mici si acum le ocolesc cat de tare pot!

[Citat] Ca si dvs. si eu am fost nevoit sa fac calcule la greu in clasele mici si acum le ocolesc cat de tare pot!

Tocmai de aceea trebuie scris doar 10^3 = 1000 < 1024 = 2^10, urmand sa ridicam la a treia...