Am avut anumite divergen?e de opinie cu mine daca sa propun cele de mai jos la rubrica [Problemele saptamanii] sau la rubrica [Amuzamente matematice].
M-am decis pentru rubrica de fa?a, pentru ca sa nu se creada ca "plagiez" pe ascuns. Cer scuze, incerc si eu cu disperare sa pun ceva nou pe fa?a pamantului...

Inainte de toate, fara nici un fel de motiv, in caseta ascunsa se afla o bucata de cod...
COD


Codul m-a ajutat doar sa tiparesc cele de mai jos...

Undeva in lista se afla si 20 - 15 - 20 ...
Solutia la alegere se afla pe link-ul de mai jos si confirma in mod estetic acel 55 din coloana ( ? ) :
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=45346

Pentru a accentua caracterul umoristic al postarii de fatza,
propun sa incepem cu

4 - 42 - 44 sau cu
4 - 42 - 84 ,

dar desigur ca orice alta alegere este binevenita!
Multe alegeri au fost deja tran?ate pe aceasta pagina...

Bun. O sa rezolv de bunavoie cele cateva cazuri simple, astfel incat sa avem o lista mai redusa care contine doar cazurile "deosebite".

Sa rezolvam asadar cazul particular:
4° - 42° - 44° .

Pentru a avea direct cazul mai general, notam folosim 4x in loc de primul 4.

Solutia problemei de mai sus este simpla.

Sa notam cu S intersectia celor doua drepte BM si CN.
Unghiul din B in triunghiul BCN este de masura 90° - 2x .
Deci BM este bisectoarea acestui unghi, impartindu-l in cele doua unghiuri de masura 45°-x, unul din ele ni s-a dat.
In particular, S este mijlocul lui CN, BM este mediatoarea acestui segment, deci si triunghiul MCN este isoscel, MC = CN .
De aici deducem masura unghiului <( MNC ), egala cu cea a lui <( MCN ) = <( ACN ) , data a fi 45° - 3x .

Unghiul <( AMN ) este exterior triunghiului isoscel MCN, are masura suma celor doua unghiuri din C si N in MCN, deci
2( 45° - 3x ) = 90° - 6x .
In triunghiul AMN, unghiul din A este de masura 4x, deci in acelasi triunghi ramane masura ( 90° + 2x ) pentru <( ANM ).
q.e.d.

De exemplu, in cazul 4° - 42° - 44° avem x = 1°, deci unghiul <( AMN ) este de
90° - 6x = 84° .

Sa rezolvam mai departe cazul particular:
4° - 42° - 84° .

Generalizarea este urmatoarea.

Solutia problemei de mai sus este de asemenea simpla.
De fapt, daca privim cu o mica atentie tabelul de mai sus cu numerele intregi de grade si cu coincidentele de pe primele doua coloane, nu putem sa omitem existenta perechilor:

4° - 42° - 44° - 84° si
4° - 42° - 84° - 44° ,

8° - 39° - 43° - 78° si
8° - 39° - 78° - 43° ,

12° - 36° - 42° - 72° si
12° - 36° - 72° - 42° ,

si asa mai departe.

Este poate util sa ne legam de cele tocmai demonstrate mai sus.
Cu alte cuvinte, in cazul particular 4° - 42° - 84° ne ajutam de cele demonstrate pentru 4° - 42° - 44° .
Iata cum.

Sa notam cu K punctul de pe AC de pe bisectoarea din B. (Acest K este deci "M-ul" din celalalt caz.)
Sa notam cu S intersectia celor doua drepte BK si CN. (Asa am facut si la celalalt caz.)
Din cele date, examinand ce unghiri revin in triunghiul BCM vedem ca acest triunghi este isoscel.
Sa ducem atunci inaltimea = bisectoarea in BCM, notata cu BT, unde T este pe dreapta AC = CM .
In S si in T avem doua unghiuri drepte, deci patrulaterul SBCT este inscriptibil.
De aici putem calcula masura unghiului <( ATS ) exterior in T acestui patrulater.
Ea este aceeasi cu masura lui <( SBC ) , deci jumatate din <( B ) , deci
( 45° - x ).
Mai observam doar ca TS este linie mijlocie in CMN, deci este paralela cu MN.
Deci unghiul cautat <( AMN ) are de asemenea masura ( 45° - x ).
q.e.d.

Am facut publice cele doua solutii una dupa alta din urmatorul motiv nematematic, oarecum filozofic, in masura in care estetica tine mai mult de filozofie decat de gust(ul mai mult sau mai putin subiectiv).

Suntem in cadrul matematic, avem mai multe exemple construite brut - cu computerul - si izolam uman doua seturi de cazuri care se corespund "prin coincidenta". Ei bine, gandirea umana le poate pune in legatura (pe aceeasi figura)...

In acest caz nu apelam la o ingeniozitate deosebita pentru a rezolva, dar insesi posibilitatea de a pune in legatura perechile care "se aseamana numeric" ilustreaza ceea ce in limbaj uman se numeste "gandire". Scriu acestea aici deoarece am avut acum cateva luni o discutie cu un prieten (aflat pe partea cu filozofia), el cerandu-mi un exemplu de "gandire", de originea, izvorul, imboldul gandirii si de (ne)necesitatea. Filozofii nu au prea des exemple de necesitate a gandirii. In discutie am pomenit candva necesitatea gandirii in directia extrapolarii, generalizarii. Dar nu mi-a acceptat punctul de vedere.

Consider ca astfel de discutii sunt importante, pot fi duse de exemplu chiar si la televizor, telul fiind diminuarea statistica a numarului de victime si cuvinte accidentale / accidentate din unitatea de timp. In cazul nostru cel ce priveste sau asculta nu trebuie sa poata demonstra ceva cu propriile puteri, ajunge sa ia la cunostinta procesul de cautare a unor "constelatii geometrice cu unghiuri frumoase", apoi din lista gasita cautarea unor lucruri comune, apoi in interiorul matematicii folosirea ustensilelor specifice pentru a chiar demonstra...

Demonstratia nu trebuie redata, dar asa, dintre multii elevi care se uita intamplator la televizor, unii pot considera astfel de "jocuri" mult mai interesante decat cele cu un joy-stick. Desigur ca discutia este foarte teoretica, dar uneori discutiile teoretice destpre lucruri utopice ajuta la a face un pas in directia buna. La televizor de exemplu...

Sa vedem ce a mai ramas din tabel si din problema.

COD