[Citat] Am de determinat f: R cu valori in R cu proprietatea ca pentru orice x real are loc f( f(x) ) = x + 2 .

Acesta este un bun punct pentru a arata ca matematica este mult mai adanca decat apare la prima privire. Nu pot "rezova problema (cu lipsa de date)", dar trebuie sa fac cateva precizari...

In primul rand, cautam functiile de gradul I care satisfac cele de mai sus.
Doar ca sa avem exemple...

Cautam deci constantele necunoscute A si B pentru care avem f(x) = Ax + B .
Inlocuim si obtinem pe rand:

x + 2
= f(f(x))
= A f(x) + B
= A( Ax + B ) + B
= A² x + (AB+B) .

Identificam coeficientii in x si in x°, dam de
A² = 1 si
B(A+1) = 2 .

Din a doua ecuatie vedem ca A nu poate fi -1, deci din prima ecuatie ne ramane doar A = 1 . De aici B = 1. Deci am cautat si am gasit functia de gradul I

f(x) = x + 1 .

Aceasta este o solutie posibila.
Sa stergem cu buretele si sa ne jucam acum in modul urmator mai departe.

Definesc eu o functie f de la ZZ la ZZ,
deci de la intregi tot in intregi.
Functia f este ceva mai complicata, dar merita inteleasa.

f(n) este n+3 daca n este par si
f(n) este n-1 daca n este impar .

Care sunt valorile urmatoare:

f(f(0)) ,
f(f(1)) ,
f(f(2)) ,
f(f(3)) ,
f(f(4))

?

Apoi mai vedem.
Matematica este un lucru complicat, daca nu incercam sa intelegem lucrurile ei de baza, dar dupa aceea ne descurcam destul de repede...

Mai repet odata explicatia mea:
f(x)=x+2
f(f(x))= f(x+2)= (x+2)+2=x+4
mai departe nu vad de ce sa ne mai complicam?solutia este unica si este cea aratata de mine mai sus.Deci nu vad unde se vrea sa se ajunga cu acel rationament?

[Citat] mai departe nu vad de ce sa ne mai complicam?

Just!

Draga "Maia"...
DIN text nu deducem de NICAIERI ca functia pe care vrei s-o determini este exact de forma x+2. Prin urmare ai luat un caz particular...

[Citat] Am de determinat f:R cu valori in R daca f(f(x))=x+2 multumesc

Ia citeste cu atentie textul f(f(x)) trebuie sa dea x+2, nu x+4 cum ti-a dat tie.
Deci functia ta nu e buna.

Si, de unde ai dedus ca solutia e UNICA????? Cine iti garanteaza asta?
Faci o gafa de logica.
Rezolvari din astea, bazate pe "ghicirea unei solutii particulare, desi nu stim cate solutii are problema sau daca solutia e unica", sunt chestii de moment, daca schimbam putin datele problemei, nu stiu daca mai putem ghici.
Ia de exemplu f(f(x))=4x-3. Ia ghiceste tu solutia!!
Si, sa vezi "surpriza", aici exista chiar 2(doua) functii de gradul intai care verifica cerinta! )
Deci in general solutia nu este unica!!
"Metoda" cu ghicirea, chiar daca a mers aici(a mers si nu prea, ca solutia ta nu e buna, trebuie f(x)=x+1, nu x+2), nu valoreaza 2 bani in general.
Mie imi plac solutiile simple, dar pana la punctul in care devin incomplete, insuficient argumentate sau chiar gresite. Ca elevii sunt "cei mai buni" la gasit astfel de solutii "simple".


Cand se cere "determinati functiile cu proprietatea cutare" noi trebuie sa gasim TOATE functiile cu acea proprietate, nu observam una singura si gata am incheiat problema. DACA SUNT SI ALTELE?????????? Cui le lasam???
Eu as da o nota mai mare unui elev care INTELEGE ca pot fi mai multe solutii la o problema, dar nu gaseste nici una, decat unui elev care imi ghiceste o solutie particulara dintr-o intamplare si zice ca aia e singura.
Pentru ca in definitiv conteaza logica corecta, asta doreste sa formeze matematica, nu sa surprinda faptul ca, printr-o intamplare fericita, un elev a ghicit o solutie la o problema. Aia e total nerelevant.

pai problema se pune asa:
f(f(x))=x+2 comparand cu f(x)=x+2 care este matematic corecta rezulta clar
ca f(x)=x.Eu nu vad o alta posibilitate.
Aceasta teorie este valabila si la expresia Dvs si anume f(f(x))=4x-3 evident ca f(x)si aici este tot x.Adica daca vreti putem scrie f= x+2 evident ca ? este unic si este egal cu x.Aveti impresia ca problema s-a rezolvat la ghiceala .Ea este rezolvata cat se poate de stiintific si eu nu mai vad o alta solutie .
De grad nu poate fi vorba ca se vede evident ca in partea dreapta avem o functie de gradul unu.
Eu cel putin nu vad alta solutie dar daca Dvs o vedeti este posibil dar va rog sa mi-o comunicati si mie.
Cu stima

[Citat] pai problema se pune asa: f(f(x))=x+2 comparand cu f(x)=x+2 care este matematic corecta rezulta clar ca f(x)=x.

Fara suparare, nu "rezulta" asa ceva.
Ia faceti o verificare.
Daca f(x)=x atunci f(f(x))=x+2 ????

Ia gasiti functiile de gradul intai in cazul f(f(x))=4x-3. Si apoi mai vorbim.
si da, problema trebuie sa precizeze CE FEL DE FUNCTII se cauta!!
Nu le putem lua noi, de la sine de putere, neaparat de gradul intai.
De unde stim ca nu exista si alte functii, mai complicate, eventual din acelea cu acolada, care sa verifice relatia???

Nu trebuie sa fim "clarvazatori" si sa vedem sau sa nu vedem posibilitati.
solutia trebuie sa fie clara!!
Ideea este ca, functia cautata fiind de gradul intai, ea este de forma
f(x)=ax+b
Avem imediat
f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=4x-3
Identificam coeficientii din ambele parti si obtinem:

a^2=4-->a este -2 sau 2
b(a+1)=-3

apoi pentru fiecare valoare a lui a se obtine carte o valoare pentru b din a doua ecuatie.
DECI SUNT 2 SOLUTII!!!!!!!!!!!!!!!!(in acest caz)

Asta este rezolvarea naturala si fireasca, nu trebuie sa ghicim sau sa "vedem" nimic.

in primul rand am aratat ca am comis o eroare cu x+2 si am indreptat-o.
In al doilea rand noi nu santem in R3 ci pur si simplu in R.
Cred ca dupa cum ati pus Dvs problema plecam din R
Ori in cazul nostru s-a specificat clar ca ca este vorba de R.

[Citat] in primul rand am aratat ca am comis o eroare cu x+2 si am indreptat-o. In al doilea rand noi nu santem in R3 ci pur si simplu in R. Cred ca dupa cum ati pus Dvs problema plecam din R Ori in cazul nostru s-a specificat clar ca ca este vorba de R.

1. Cum ati indreptat-o? Care este mai exact functia corecta? Ca ati spus intai x-2 apoi x+2, apoi x, da' niciuna nu verifica . )) Cea corecta este x+1, indicata de gauss.
Ce treaba are R3??

deci:
f(f(x))=x+2
de aici f(x)=x pentru ca f(f(x))=f(x) ca y=f(x)=x+2
In al doilea rand nu putem spune f(Ax+B) pentru ca santem in R nu santem in spatiul tridimensional R3).