Maine dau test din vectori, dar m-am impotmolit la urmatoarea problema.
Fie ABCD un paralelogram si M ? (AC) astfel incat

. Sa se determine raportul in care DM imparte segmentul [BC] si segmetul [AB].

Am incercat sa aplic proprietatea cu "k" in triunghiurile DAB si DQC, dar nu imi iese mai nimic. (Q este intersectia lui DN cu CB).

Si, daca poate cineva, sa imi arate si mie cum demonstrez proprietatea cu "k" ( cea cu punctul care imparte un segment in raportul k ), i-as fi foarte recunoscator.

Multumesc anticipat.

Later edit: apreciez în mod deosebit faptul c? de la prima postare a?i folosit Latex. Deci se poate

Va multumesc frumos pentru raspuns. Imi puteti spune, va rog, si cum se demonstreaza aceasta proprietate cu "k" (generalizare) ?

[Citat] Va multumesc frumos pentru raspuns. Imi puteti spune, va rog, si cum se demonstreaza aceasta proprietate cu "k" (generalizare) ?

A?i consultat manualul? Sigur e demonstrat? acolo.

Am aflat de la un coleg din clasa cum se demonstra. Noi lucram dupa culegere (care nu contine nici o parte de teorie), iar manual nu imi aduc aminte sa fi primit la inceputul anului (nu am mai avut timp sa il caut prea bine). In mai multe cazuri s-a intamplat ca eu (sau un alt coleg) sa reusesc/reuseasca sa demonstrezz(e) relatii sau teoreme prin metode mult mai scurte decat cea de la clasa, care si in cazul acesta este destul de lunga. (insa voi cauta manualul sa ma conving daca exista metoda mai usoara). Va multumesc din nou pentru ajutorul acordat !

Proprietatea "cu k-ul" cred ca este urmatoarea.

Plecam cu
- un punct de referintza O
- si cu doua puncte, A si B.
Vrem sa gasim punctul C pe segmentul AB
cu care impartim segmentul AB intr-un raport dat,

p : q ,

unde p si q sunt *ponderi*, deci sunt doua numere reale (nu neaparat pozitive) cu proprietatea

p + q = 1 .

Ei bine, "din sentimentul pentru formule scrise repede", banuim ca este

- fie p OA + q OB
- fie q OA + p OB

Si cum ne decidem?
In primul rand nu avem probleme daca p = q = 1/2 ...
Bine,si cum ne decidem?
sa zicem ca luam p=0 si q=1. Am avut des probleme cu luarea acestui caz particular, dar cred ca in cazul de fatza e bine sa iau asa...

Vrem C-ul pentru care CA : CB este 0 : 1 .
Este clar ca CB trebuie sa fia AB. Deci C-ul este in A. Deci treubuie sa luam formula care se particularizeaza la

1 OA + 0 OB .

Care formula este deci cea buna oare?!

Bun.
Acum din pacate majoritatea problemelor nu ne dau p si q, ci ne dau "un k"...
De exemplu ni se cere sa gasim puctul C care imparte AB in raportul

CA : CB = 2 : 3 .

Desigur ca asociem ponderile 2/(2+3) si 3/(2+3) si facem ca mai sus...

(Este rau cand la ora nu se explica de ce luam ce luam cand aplicam o formula.)
Un mod si mai brutal de verificat formula este cel in care luam chiar mai departe

O = (0,0)
A = (0,0)
B = (1,0) .

Banuiesc ca am raspuns mai degraba la intrebarea mea "cu k".
Daca intrebarea era alta sau daca sunt puncte neclare, mai jos e loc de discutie, cu incredere!

Nota:
De obicei se scrie in loc de
OC = q OA + p OB doar
C = q A + p B,
lucru care are sens
- in primul rand daca folosim coordonate
- in al doilea rand daca inseram in loc de O "orice litera" / orice punct X, deoarece stiind relatia pentru O, ea rezulta si pentru un / orice X arbitrar:

XC
= XO + OC
= q XO + p XO + q OA + p OB ---> deoarece p, q ponderi, p + q = 1 !
= q ( XO + OA ) + p ( XO + OB )
= q XA + p XB .

Acest lucru simplu inlesneste deseori calculul.
calculul vectorial, cel cu numere complexe (scriem a,b,c in loc de A,B,C, unde a,b,c sunt numere complexe, bine, de obicei z,v,w...) si cel cu coordonate baricentrice.


Nota: Da, folosirea LaTeX-ului este un lucru excelent!
Recomand chiar scrierea temelor importante in latex in acest caz.
(Rog a se folosi emacs pentru editare. Vine cu colorarea sintaxei.)
Cea mai buna pregatire pentru olimpiade si bac este folosind o mica brosurica de probleme tip rezolvate cu propria mana - scrisa in latex.

[Citat] In mai multe cazuri s-a intamplat ca eu (sau un alt coleg) sa reusesc/reuseasca sa demonstrezz(e) relatii sau teoreme prin metode mult mai scurte decat cea de la clasa, care si in cazul acesta este destul de lunga. (

Serios??
Scurte, scurte, da' erau si CORECTE????
Cat de lunga sa fie, are 3 randuri maxim aceasta "complicata" proprietate "cu k".

[Citat] [Citat] In mai multe cazuri s-a intamplat ca eu (sau un alt coleg) sa reusesc/reuseasca sa demonstrezz(e) relatii sau teoreme prin metode mult mai scurte decat cea de la clasa, care si in cazul acesta este destul de lunga. ( Serios?? Scurte, scurte, da' erau si CORECTE???? Cat de lunga sa fie, are 3 randuri maxim aceasta "complicata" proprietate "cu k".

Nu a spus nimeni ca e complicata, sa stii. Si, da, erau corecte. Aici era vorba de demonstrarea acesteia, dupa cum cred ca nu ai vazut mai sus (iti place sa spamezi topicurile altora fara sa te informezi macar despre ce e vorba), nu se rezuma la 3 randuri. Daca reusesti tu sa o demonstrezi in 3 randuri, ai o bere de la mine... dar nu o vei face, deoarece tot interesul tau aici era sa mai faci un post. Data viitoare gandeste-te inainte sa postezi daca ceea ce postezi tu chiar ajuta pe cineva. Si sa stii ca nu era nevoie de atatea semne de intrebare. Calm down, nervii nu fac bine.

P.S.: Imi cer scuze pentru off-topic, dar nu m-am putut abtine.

Cat despre Latex, aceasta a fost prima data cand l-am utilizat, nu stiu mai nimic despre el, insa am dat sa citez posturi din alte topicuri si am vazut "comenzile".

Demonstratia am gasit-o, intr-un final, in carte. (Multumesc pentru sugestie !)

[Citat] [Citat] [Citat] In mai multe cazuri s-a intamplat ca eu (sau un alt coleg) sa reusesc/reuseasca sa demonstrezz(e) relatii sau teoreme prin metode mult mai scurte decat cea de la clasa, care si in cazul acesta este destul de lunga. ( Serios?? Scurte, scurte, da' erau si CORECTE???? Cat de lunga sa fie, are 3 randuri maxim aceasta "complicata" proprietate "cu k". Nu a spus nimeni ca e complicata, sa stii. Si, da, erau corecte. Aici era vorba de demonstrarea acesteia, dupa cum cred ca nu ai vazut mai sus (iti place sa spamezi topicurile altora fara sa te informezi macar despre ce e vorba), nu se rezuma la 3 randuri. Daca reusesti tu sa o demonstrezi in 3 randuri, ai o bere de la mine... dar nu o vei face, deoarece tot interesul tau aici era sa mai faci un post. Data viitoare gandeste-te inainte sa postezi daca ceea ce postezi tu chiar ajuta pe cineva. Si sa stii ca nu era nevoie de atatea semne de intrebare. Calm down, nervii nu fac bine. P.S.: Imi cer scuze pentru off-topic, dar nu m-am putut abtine. Cat despre Latex, aceasta a fost prima data cand l-am utilizat, nu stiu mai nimic despre el, insa am dat sa citez posturi din alte topicuri si am vazut "comenzile". Demonstratia am gasit-o, intr-un final, in carte. (Multumesc pentru sugestie !)

Scuza-ma, dar imi permit sa am dubiile mele cand un elev face el pe desteptul ca demonstreaza nu stiu ce teoreme mai simplu ca profesorul sau manualul.
Nu ma pronunt in ce te priveste, dar am mai vazut din astia care aveau impresia ca ei demonstreaza mai simplu, numai ca demonstratia era gresita, trasa de par sau incompleta/insuficient argumentata.

Si da, are 3 randuri, exprim fiecare membru ca o diferenta si iese imediat. E o proprietate usoara tare.
AM=kMB
OM-OA=kOB-kOM
Calcule banale si rezulta imediat.(treci ce-i cu OM de o parte si restul de cealalta)
Daca nu 3 , hai 4 randuri MAXIM.



Haaaaaaaaaaaa.
Si nu stiu ce nervi visezi, baiete. M-am amuzat copios, nu m-am enervat. IA mai coboara tu cu picioarele pe pamant, ca esti prea arogant pentru unu' care are nevoie de sugestii gen "cauta in manual"...

Dac? dori?i s? continua?i discu?ia off topic, folosi?i, v? rog, mesaje personale.