Un sir descrescator este de fapt unul monoton *strict* descrescator in enuntz?

(b) Daca luam f a fi 1 pe ( 0, +oo ) si 0 pe ( -oo, 0 ) cam ce trebuie sa luam pe post de f(0) pentru ca...

1. NU! In enunt scrie "descrescator"! (nu "strict descrescator")
2. f(0)=1 si b)-ul e terminat ! (Multumesc! Acum, a)-ul e marea problema !)

Din pacate problema nu imi da prea mult(e).

Plecam cu f contiua deci.
Pentru orice punct b pot sa iau sirul constant (in particular descrescator)
b, b, b, ...
care satisface fara probleme ce trebuie sa satisfaca in ipoteza.

Desigur ca nu orice functie continua este o contractie, asa cum vrea (a)...
Problema are astfel o solutie foarte rapida, contraexemplu, f(x) = 2x pentru orice x real.

Care e sursa problemei?

(Nota: Cand pe vremuri o culegere sau un manual imi me,sterea o ipoteza complicata, cerea sa demonstrez ceva complicat, dar nu facea explicit diferentza dintre descrescator / strict descrescator, lucru care *conta* in contextul complicat al problemei, de obicei taiam problema cu stiloul cu un X mare. Cateva culegeri imi implorau chiar X-urile...)

Sursa: Supliment G.M.B. nr.4/2013 (Aprilie)!
Nu o insist prea mult cu problema, dar daca in ipoteza ar fi "strict descrescator" (in loc de "descrescator"), aveti vre-o idee? Multumesc

Presupunem prin absurd ca gasim x, y* cu x < y* care contrazic ipoteza,
Lui x ii asociem multimea

Y(x) = { y in IR : y > x si | f(y) - f(x) | este mai mic sau egal cu |y-x| = y-x }

Din continuitate, aceasta multime este "inchisa".
(Daca avem un sir ( y(n) ) in ea care converge la un y despre care nu stim nimic inca, ei bine, stim, y este de asemenea in ea.)

Din ceea ce ni se da, y* este intr-o "gaura" a lui Y(x).

Ne uitam asadar la
sup { y in Y(x) | y < y* }
=
max { y in Y(x) | y < y* } deoarece avem o multime inchisa
=
z prin notatie.

Propun sa ne uitam acum la z si y.
Ce putem face mai departe?

1. Banuiesc ca x,y* nu indeplinesc concluzia (nu ipoteza)!?!
2. La ce ne foloseste faptul ca acea multime e inchisa?
3. Cred ca vroiati sa ziceti ca ne uitam la z si la y* (in continuare)!? Banuiesc ca acum trebuie aplicata ipoteza, dar nu e "obligatoriu" ca y* sa fie printre a_n -uri si nu prea vad cum s-ar putea folosi aici ipoteza !

[Citat] 1. Banuiesc ca x,y* nu indeplinesc concluzia (nu ipoteza)!?! 2. La ce ne foloseste faptul ca acea multime e inchisa? 3. Cred ca vroiati sa ziceti ca ne uitam la z si la y* (in continuare)!? Banuiesc ca acum trebuie aplicata ipoteza, dar nu e "obligatoriu" ca y* sa fie printre a_n -uri si nu prea vad cum s-ar putea folosi aici ipoteza !

1. Da... multzumesc!

2. Am putut scrie sup( ... ) = max( ... ) , lucru important.

3. Da, sa ne legam de z pe post de b.
La noi avem z < y*, altfel...
Gasim un sir strict descrescator care coverge la z = b, deci de la o vreme acest sir scapa sub y*.
Sa luam un element al sirului, un a' cu z=b < a' < y* , astfel incat...
Vrem sa dam de o contradictie vizavi de maximalitatea lui z.

Cum facem?

Multumesc pentru indicatii! Am reluat problema si cu ce mi-ati zis dvs. am dus-o pana la capat (practic, am continuat ideea dvs.)!