Lungimea laturii bazei unei prisme triunghiulare regulate este de 6 cm , iar inaltimea ei este de 8 cm . Sa se afle :
a) unghiul format de doua diagonale , ce pornesc din acelasi virf , ale fetelor laterale ale prismei ;
b) unghiul format de doua diagonale necoplanare ale fetelor laterale ale prismei .

[Citat] Lungimea laturii bazei unei prisme triunghiulare regulate este de 6 cm , iar inaltimea ei este de 8 cm . Sa se afle : a) unghiul format de doua diagonale , ce pornesc din acelasi virf , ale fetelor laterale ale prismei ; b) unghiul format de doua diagonale necoplanare ale fetelor laterale ale prismei .

Sa notam prisma cu ABCA'B'C'.
Aici ABC si A'B'C' sunt doua triunghiuri echilaterale. (Prisma e regulata.)
Nu se da explicit, dar plec de la idea ca prisma este dreapta. (Tot la capitolul regularitate trebuie sa intre.)

Ae uitam la cele doua fetze:
ABB'A' si
ACC'A'.
Ambele sunt doua dreptunghiuri cu laturile de 6cm (la baza) si 8cm (inaltimea).
Diagonalele sunt dupa teorema lui Pitagora de lungime d, unde

d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²,

deci d este de 10cm. (Am omis cm in relatia de mai sus...)
Ne uitam acum la diagonalele AB' si AC'. La (a) ni se cere unghiul format de ele.
(De acestea doua de exemplu. Ele pleaca din A. Dar din orice alt varf le-am lua dam de aceeasi constelatie geometrica.)

In triunghiul AB'C' stim deci laturile:
10cm, 10cm, 6cm.
Acesta este un triunghi isoscel.
Ducem mediana = mediatoarea = bisectoarea = inaltimea fatza de baza de 6cm a lui.
Dam de doua triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza de 10cm si cu o cateta de 3cm.
Folosim functia sin. Care unghi are sinusul egal cu 3/10 ?
Nu este un unghi frumos.
Este in orice caz cam

(20:25) gp > asin( 3 / 10 )
%1 = 0.3046926540153975079720029612
(20:25) gp > asin( 3 / 10 ) / Pi * 180
%2 = 17.45760312372209229024604579

deci cam de 17,46° .
Dublul lui este unghiul cautat la (a).


(b) Trebuie sa lucram impreuna.
Ne uitam din nou la cele doua fetze
ABB'A' si
ACC'A'.
O pereche de diagonale ale lor care nu au nici un punct comun (deci nu sunt coplanare) este:

AC' cu BA' .

Vrem sa consturim unghiul dintre ele.
Propun sa le facem "sa treaca prin aceleasi punct", desigur dupa ce le mutam prin paralelism.
Sa le facem de exemplu sa treaca prin B amandoua.
BA' trece deja prin B.
Cum arata segmentul paralel cu AC' care pleaca din B si care are aceeasi lungime ca si AC' ?

( Putem de exemplu sa mai lipim o prisma... ?! )

Aici trebuie sa povestim...