[Citat]
...nu rezulta ca dx/x = dp/p si x =p? |
Rezulta ca dx/x = dp/p
dar de aici nu rezulta x = p .
Pe scurt fara matematica, dar cu polemica. Polemica este necesara pentru ca pe mine ma doare cand vad ce vad, dar se pare ca pe nimeni altcineva nu-l doare nimic. Ma refer desigur la cea sau cel de la catedra care a initiat aceasta drama. Probabil ca suntem la o facultate de fizica sau economie si trebuie neaparat sa intelegem ceva la nivelul anului III de matematica pura.
Noi incercam sa rezolvam o ecuatie diferentiala complicata. In orice caz nu una care se invatza de azi pe maine.
Am primit indicatia ca ecuatia este de tip Clairaut.
Nu este.
Necunoscuta: y functie de x.
Daca ghicim o substituitie, dam de o ecuatie care se face in carti cam pe unde se face si Clairaut.
Noua necunoscuta: u functie de x.
Am spus ca este, si este, de tip Lagrange.
Pentru a rezolva asa ceva se face un calcul formal. La curs nu s-a explicat. Nu vad de ce sa explic eu aici cand si asa nu gasim o baza comuna de comunicare.
In fine, undeva se introduce un p. Acest p devine o variabila. De acum nu mai vedem nici un u'. (O vreme buna.) Cu acest lucru nu se incurca fizicienii si politehnicienii, dar aici suntem pe o pagina de matematica. Este bine de stiut ca de la un punct al calculului formal acest p nu mai este chiar u' (sau y'...). Este o variabila in toata regula. Cu asa ceva nu se incurca fizicienii si politehnicienii care au rezolvat deja sute de astfel de probleme in viata lor, dar se incurca toti cei ce incearca sa invetze retzeta de rezolvare. Este deci indicat sa avem cinci - zece probleme rezolvate pe care sa le intelegem intai.
Unde sunt acestea? Care e cursul? Care sunt exemplele?
Rezolvarea acestor ecuatii Lagrange nu este "explicita", nu gasim o solutie explicita decat daca avem chiar noroc, asta dupa ce avem indmanare, nu gasim decat o functie implicita. Deci trebuie sa stim ce este o functie implicita. Chiar daca nu stim, mergem mai departe.
Vrem sa rezolvam ceva in ce intervin literele x, p, u.
(De obicei x, p, y.)
Litera u apare o singura data.
Diferentiem (in sensul diferentierii 0-formelor diferentiale = functii, pentru a obtine 1-forme diferentiale).
Si dam de __ du __ intr-un singur loc, daca am plecat cu o ecuatie de tip Lagrange. In acest unic loc substituim
___ du ___
cu
___ p dx ___.
Aceasta este "metoda" si sunt foarte curios cum este explicata in curs. Dupa substitutie sam de ceva cu dx-uri si cu dp-uri (fara du-uri), ele mai au si coeficienti in care apar doar x-uri si p-uri. Trecem acum la functia inversa. Deci in loc sa vedem
p = p(x), unde x este variabila,
vedem
x = x(p), unde p este variabila.
Fizicienii si politehnicienii fac asa ceva fara probleme. Ei fac calculul, la sfarsit dau de o solutie. Chiar asa de mult nu conteaza ca pe drum au fost pe un fibrat cotangent al unei varietati... Bun dam deci de ceva de forma
dx / dp = Functie( x, p )
si/sau
dp / dx = AltaFunctie( x, p )
dupa cum vrem sa vedem lucrurile.
In cazul nostru vrem sa le vedem cu dx / dp = Functie( x, p ) .
Trecerea de la FORMA DIFERENTIALA si integrarea a unei ECUATII CU FORME DIFERENTIALE ( deci ceva cu aspectul ? xd + ?? dp = 0 ) la o ecuatie diferentiala "obisnuita" nu este neaparat simpla, dar noi avem acum probleme cu lucruri si mai simple. (Relativ la nivelul de facultate la care ne aflam.)
Anume:
Ecuatia noastra diferentiala este una cu aspectul
dx / dp = f(p) x + g(p)
Aceasta ecuatie se rezolva (mai ales la fizicieni si politehnicieni) prin metoda "variatiei constantelor". Numele este un paradox constient, dar cine traieste in Romania are probleme asemanatoare toata ziua, n-ar trebui sa se simta deranjat de o asa bagatela.
Aceasta metoda ne spune sa ne legam mai intai de ecuatia
dx/dp = f(p) x .
Separam variabilele, integram, trebuie sa dam de ceva de forma
ln x(p) = Integrala( ... ) + C .
Aici se vede constanta C. Aceasta constanta ma intereseaza foarte tare, deoarece plecand de la aspectul corespunzator al solutiei si inlocuind *formal* C-ul cu o functie c = c(p) dam de o ecuatie diferentiala pe care putem sa o rezolvam mai simplu decat pe cea de la inceput.
Insa asa cum stau lucrurile dupa cateva pagini de chatuit, suntem in pozitia in care incercam sa rezolvam / sa intelegem o ecuatie Lagrange, dar nu stim sa rezolvam cele mai banale ecuatii diferentiale.
Fac o comparatie.
Este ca si cum vrem sa intelegem cum se rezolva o ecuatie algebrica de grad trei, dar am trecut repede peste capitolele cu ecuatiile de grad unu si doi si de fapt nu stim sa rezolvam asa ceva, pentru ca la ore nu ni se cere (explicit) asa ceva, ci ni se cere o anumita ecuatie de gradul trei, de exemplu x^3 - 17x + 1 = 0 de la care ne asteptam desigur sa dam de solutii urâte. Si de fapt de ce sa intelegem ecuatiile de grad I si II, in curand lucram undeva si nu mai rezolvam toata viatza ecuatii de astfel de grade.
Ma intorc la ecuatia diferentiala.
DUPA ce stim solutia ecuatiei dx / dp = f(p) x + g(p) sub forma
x(p) = FunctieComplicata( p )
ne aducem aminte de unde a inceput povestea si inlocuim in ecuatia in x, u, p peste tot in loc de x functia complicata gasita. Dam de
y(p) = FunctieGasita(p) .
Ei bine, fizicienii si politehnicienii se declara multumiti cu solutia implicita:
{ x(p) = FunctieComplicata( p )
{ y(p) = FunctieGasita(p)
si undeva gasim si suportul matematic cu demonstratie cu tot pentru aceasta.
Acesta este adevarul despre modul in care incearca invatzamantul sa bage cu viteza pe gât matematica in studentii care de fapt nu au nici o legatura cu matematica si intelegerea, ci cu predarea exercitiilor cat de cat rezolvate - in orice forma.
Nu stiu daca acesta este cazul in cazul de fatza, dar acesta este cazul in general se pare. Cineva de la catedra a inteles o metoda pentru o clasa de ecuatii, ceva singular, una din multele clase de probleme, una din metode, care in prezentare nu este dintre cele mai simple si trebuie neaparat sa ceara aceasta metoda la nivel de anul I. Nici o problema, si pe vremea mea era la fel si fara internet era o munca grea de cautare, de intelegere si de rezolvare.
Bun. Ce facem mai departe si care este diviziunea muncii?
Stadiul actual:
NU STIM sa rezolvam dx/x = dp/p .
Access general
Conţine mesaje necitite
