Si Yn este cuprins intre 0 si log2(1+x0)!

Bun, sa luam un exemplu numeric ca sa stim despre ce este vorba.
Dupa parerea mea, a lucra la probleme despre siruri fara a le vedea vreodata...

Sa zicem ca x0 = 16 .

Atunci iata primii cativa termeni ai sirului:

(20:22) gp > f(x) = log( 1+x ) / log(2)
(20:22) gp > a = 16
%1 = 16
(20:22) gp > for( k=1, 10, a = f(a); print( "x(", k, ") = ", a ) )
x(1) = 4.087462841250339408254066011
x(2) = 2.346946351995171823312792812
x(3) = 1.742845426336418220561216038
x(4) = 1.455673321077380331310016127
x(5) = 1.296118651339731534092692268
x(6) = 1.199197194834405449606693890
x(7) = 1.136976971748392355517074992
x(8) = 1.095571361472969804762048865
x(9) = 1.067343651074923790735074170
x(10) = 1.047778225479692280212382798
(20:23) gp >

Deci x(0) = 16 si x(1) este (cum ne asteptam) ceva mai mare decat 4.
E foarte greu de scos cu clestele informatia

x(0) > x(1)

in general (deci cand x(0) este arbitrar, de exemplu 1.00027843562...),
dar sa zicem ca ne aflam in acest caz particular cu
16 > (4 si ceva).
Sa aplicam f "pe aceasta inegalitate" si ne facem ca nu stim cine este x(2) si cum sta x(2) fata de x(1).

Ce obtinem?
Cum se deruleaza toata afacerea pana aflam limita lui x(n) (pana la capat)?

Pai nu inteleg la ce va referiti! Deci sirul este strict descrescator si Xn->1 pentru n-> ?. La ce v-ati referit mai exact cand ati spus "ce obtinem?" ?

Repet, extragand doar informatia strict necesara:

[Citat] x(0) > x(1) Sa aplicam f "pe aceasta inegalitate". Ce obtinem?

Da, in acest caz dam de un sir descrescator, daca acest lucru este clar, mai avem nevoie de marginire. De ce avem aceasta marginire?
De unde scoatem limita daca stim ca exista?

Si mai ramane cazul in care plecam cu 0 < x(0) < 1 .

(20:38) gp > f(x) = log( 1+x ) / log(2)
(20:38) gp > a = 2^-10
%2 = 1/1024
(20:38) gp > for( k=1, 20, a = f(a); print( "x(", k, ") = ", a ) )
x(1) = 0.001408194392808388906610166502
x(2) = 0.002030165968196723223925391571
x(3) = 0.002925941305205696707187991146
x(4) = 0.004215077479063954562375654453
x(5) = 0.006068291182921836052562343059
x(6) = 0.008728237555980263668606964538
x(7) = 0.01253754893429284699091300231
x(8) = 0.01797540988055305861739480043
x(9) = 0.02570271222710970186022603076
x(10) = 0.03661264347438816665818736863
x(11) = 0.05187689536868515050091628424
x(12) = 0.07296587113838691210006184874
x(13) = 0.1016041876298821404258683608
x(14) = 0.1396059488460276538979472346
x(15) = 0.1885350577925332862472618974
x(16) = 0.2491844585664130740667836352
x(17) = 0.3209865256329556187814260883
x(18) = 0.4016157508378390739183270122
x(19) = 0.4870908926144807220694758090
x(20) = 0.5724928291769281456244098917

OK, mai avem nevoie de marginire! Sirul asta mi-a cam dat batai de cap (mai ales ca lucrez pe cont propriu,fara pregatire in particular si ... sincer, e cam greu).

Nu e nevoie sa tratati cazul 0<X0<1 pentru ca in enunt am specificat ca X0>1.
Dati-mi o idee cum as putea sa rezolv cu marginirea. Eu m-am gandit ca Xn, n>0 e intre 0 si X0. Atata timp cat X0 e fixat, e marginit, nu?

Am demonstrat ca xn>1 prin inductie si ca sirul este descrescator.
Deci rezulta ca e e convergent si am trecut la limita:

De aici rezulta ca solutii l1=1 si l2=0 dar xn>1 rezulta limita este l=1.
Apoi la yn mi-a dat ca e crescator. Dar mai departe nu stiu ce sa fac.