Buna seara. Fie sirul de numere reale (Xn)n>=0 definit prin x0>1 si xn+1=log2(1+xn),n>=0. Sa se arate ca sirul (yn),n>=1 definit prin
yn=(1+x1)(1+x2)...(1+xn)/(2^n) este convergent.
Dati-mi va rog o indicatie de rezolvare.

[Citat] Buna seara. Fie sirul de numere reale (Xn)n>=0 definit prin x0>1 si xn+1=log2(1+xn),n>=0. Sa se arate ca sirul (yn),n>=1 definit prin yn=(1+x1)(1+x2)...(1+xn)/(2^n) este convergent. Dati-mi va rog o indicatie de rezolvare.

Incercati LaTeX. Textul ar fi usor de citit si arata asa:

[Citat] [Citat] Buna seara. Fie sirul de numere reale (Xn)n>=0 definit prin x0>1 si xn+1=log2(1+xn),n>=0. Sa se arate ca sirul (yn),n>=1 definit prin yn=(1+x1)(1+x2)...(1+xn)/(2^n) este convergent. Dati-mi va rog o indicatie de rezolvare. Incercati LaTeX. Textul ar fi usor de citit si arata asa:

Ce limit? are ?irul

[Citat] Ce limit? are ?irul

Nu specifica limita lui

. Cere sa se demonstreze ca sirul

este convergent.

[Citat] [Citat] Ce limit? are ?irul Nu specifica limita lui . Cere sa se demonstreze ca sirul este convergent.

Era o indica?ie. S? fiu mai clar: calcula?i limita ?irului x_n.

Am incercat cateva cazuri particulare si imi rezulta ca lim xn=0, dar nu stiu cum sa demonstrez.

[Citat] Am incercat cateva cazuri particulare si imi rezulta ca lim xn=0, dar nu stiu cum sa demonstrez.

Consideram functia f: [ 1, +oo ) -> IR ,
f(x) = log2 ( 1+x ) = ln( 1+x ) / ln 2 , pentru orice x real,
unde log2 este logarimul in baza doi.

Care este monotonia acestei functii?

[Citat] Consideram functia f: [ 1, +oo ) -> IR , f(x) = log2 ( 1+x ) = ln( 1+x ) / ln 2 , pentru orice x real, unde log2 este logarimul in baza doi. Care este monotonia acestei functii?

Functia aceasta este strict monotona.

[Citat] Functia aceasta este strict monotona.

Lucrul acesta nu ne ajuta prea mult.
Intrebarea era daca avem o functie (strict) crescatoare sau (strict) descrescatoare. Daca stim ce fel de functie avem, ne uitam la primii doi termeni,

x0 si x1,

care sunt fie x0 < x1, fie x0 > x1,
dar nu insist ca si informatia aceasta sa o scot cu clestele,
apoi aplicam f-ul pe aceasta inegalitate si dam de monotonia sirului.

Mai trebuie sa avem grija de marginire.
Dupa ce avem grija, stim ca limita exista, (am avut "noroc", am verificat o conditie suficienta pentru existenta limitei,) atunci notam aceasta limita cu L si trecem la limita in relatia de definitie. In acest mod speram sa putem determina limita.

Care sunt deci pasii schitati pana aici in detaliu?

Ma scuzati, am vrut sa scriu monoton descrescatoare (strict). Am observat la ce va referiti: Weierstrass. La asta m-am gandit si eu, dar ma incurca faptul ca sirul Xn este dat printr-o relatie de recurenta.