Buna ziua

O problema data pentru clasa a VII.
Fie sirul a(n) = 1/1+1/2+1/3+.....1/n
Fie sirul b(n)=a(1)+a(2)+.....a(n)
Fie sirul c(n) = b(1)/2+b(2)/3.....+b(n)/n+1
Se cere sa se arate ca
c(2010) = b(2011)-2011
De fapt probabil ca trebuie demonstrata o relatie mai generala de tipul:
c(n) = b(n+1)-(n+1)

Am facut calcule si intradevar:
c(2010) = 12443.90955... si b(2011)=14463.90955... diferenta este exact 2011.

Am incercat prin inductie (desi nu este de nivelul clasei a VII) si incet..incet se ajunge la rezultat, dar e prea complicat.
Sirurile astea mai au o serie de proprietati pe care nu am reusit sa le demonstrez direct, de exemplu: b(n)=(n+1)x a(n) - n.
Daca are cineva o idee, multumesc.

[Citat] Buna ziua O problema data pentru clasa a VII. Fie sirul a(n) = 1/1+1/2+1/3+.....1/n Fie sirul b(n)=a(1)+a(2)+.....a(n) Fie sirul c(n) = b(1)/2+b(2)/3.....+b(n)/n+1 Se cere sa se arate ca c(2010) = b(2011)-2011 De fapt probabil ca trebuie demonstrata o relatie mai generala de tipul: c(n) = b(n+1)-(n+1) Am facut calcule si intradevar: c(2010) = 12443.90955... si b(2011)=14463.90955... diferenta este exact 2011. Am incercat prin inductie (desi nu este de nivelul clasei a VII) si incet..incet se ajunge la rezultat, dar e prea complicat. Sirurile astea mai au o serie de proprietati pe care nu am reusit sa le demonstrez direct, de exemplu: b(n)=(n+1)x a(n) - n. Daca are cineva o idee, multumesc.

Daca scriem numere pe linii si coloane cam asa:
1/1
1/1 1/2
1/1 1/2 1/3
1/1 1/2 1/3 1/4
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

si le adunam
- mai intai pe linii, apoi pe coloane,
- mai intai pe coloane, apoi pe linii,
de ce egalitate dam?

Mai pedant lucrurile arata asa.
(Dar e aceasi afacere.)

Cum merge mai departe?

Multumesc de raspuns, nu prea am inteles demonstratia cu sume. Oricum nu sa pot sa o explic la nivel d eclasa a VII.
Mai pe larg am gasit si eu demonstrarea relatiei
b(n)=
1/1
1/1+1/2
1/1+1/2+1/3
...........
1/1+1/2+1/3+...+1/(n-1) =
1/1+1/2+1/3+...+1/(n-1)+1/n =

(adaug si scad la fiecare rand ca sa completez in prima parte un a(n)

1/1+1/2+1/3+.....1/n - 1/2-1/3....-1/n
1/1+1/2+1/3+.....1/n - 1/3....- 1/n
...........................................
1/1+1/2+1/3+.....1/n - 1/n
1/1+1/2+1/3+.....1/n 0
=
n x a(n) - (1/2+2/3+....n-1)/n)
(am un termen de 1/2, doi de 1/3 si ...(n-1)termeni de 1/n

Acum adun si scad un n:
=
n x a(n)+(n-1/2-2/3-3/4...-(n-1)/n) - n =
(descompun n in 1+1+1... de n ori) si distribui cate un 1 la fiecare termen negativ, in total (n-1) termeni, deci mai ramane un 1 care il las in fata)

n x a(n)+[1 + (1-1/2)+(1-2/3)+(1-3/4)+..(1-(n-1)/n)]-n=
n x a(n)+a(n) - n=
(n+1)x a(n)-n

De aici incerc sa continui

De aici pare mai simplu.
Notez cu S simbolul pentru suma (sigma)
c(n)= S[b(i)/i+1] = S[(i+1)a(i)/(i+1)] - S[i/(i+1)]
(am inlocuit b(i) = (i+1) x a(i) - 1 si am distribuit)
c(n) = S[a(i)] -S[1/(i+1)].
Primul termen este b(n) iar al doilea se dovedeste (prin adunare si scaderea unui (n+1) si reluarea rationamentului de la punctul anterior) ca este a(n+1)-(n+1).
Deci c(n) = b(n) + a(n+1) - (n+1) adica
c(n)=b(n+1)-(n+1)