De la capat.

[Citat]

Punem cap la cap cele deja discutate mai sus.

Mai departe.
Vrem convergentza. Sa vedem daca o avem.

Este clar ca ajunge sa ne legam de urmatoarea problema:

Ramane sa incercam sa scriem orice numar r din [ 0 , 1 ]
ca limita unui sir $(z_n)$.
Desigur ca putem sa aranjam sa luam pana la $n$ de parte intreaga din $r n$ ori cifra $1$.

Ca functie de $n$, functia crescatoare $n \to [ r n ]$ are doar sarituri intregi, e clar ca la fiecare saritura sarim cel mult cu unu.

Tot nu reusesc sa demonstrez ca (z_n) converge !

Sa clarificam mai intai:

[Citat]

Deci avem un sir de 0 si 1-uri si pentru fiecare n luam
z(n)
a fi media cifrelor pana la pozitia a n-a.

Deci mai sus
z(1) = 0/1 = 0,
z(2) = (0+0)/2 = 0,

:::

z(10) = (0+...+0)/10 = 0
z(11) = (0+...+0+1)/11 = 1/11
z(12) = (0+...+0+1+1)/12 = 2/12

:::
:::
:::

z(10^2) = ( 10.0 + 90.1 ) / 100 = 9/10

:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::

z( 10^3 ) ( 10.0 + 90.1 + 900.0 ) / 1000 = ...


Care este sursa problemei?

Problema este din Supliment GMB nr 4/2013 (aprilie)!

Mai sus am dat contraexemple... Am pierdut de mult speranta convergentei, crezusem ca e clar ca e o problema falsa.

Care este de exemplu sirul k(n) in urmatorul caz?

[Citat]

(Jocul este de a-l lasa mult pe k(n) pe loc pana cand ln( 1 + 2/(n+1) ) ~ 2/(n+1) trage in jos - spre o "construibila liminf = 0" - suficient de mult, apoi ne revenim din pumni si il lasam pe k(n) sa creasca cu n pana devine tot 99% sau mai mult din n-ul care creste, apoi iar ne lasam pe tanjeala cu k(n)-ul...)

Multumesc! Am incercat mai sus sa gasesc limita si nu mi-a iesit, dar nu crezusem ca nu are limita :D !