Dar de ce ar trebui s? fie monoton?

NU e obligatoriu sa fie monoton, dar din cauza faptului ca a_n poate lua doua valori (adica nu stiu exact "ce urmeaza" dupa a_n (poate fi -1 sau 1)) din cate am vazut, nu prea are sens sa vorbin de monotonie pe anumite subsiruri ale lui (a_n) pentru ca este cam acelasi lucru! (Daca gresesc, va rog frumos sa ma corectati!) De aceea m-am gandit eu la monotonie!

Eu inteleg din ce in ce mai putin, dar ca sa inchidem si poate sa rezolvam si punctele aparute suplimentar pe drum, propun sa calculam si sa majoram convenabil

(C-o si rezolvam dupa aia...)

Am incercat sa gasesc majorari si minorari si pentru diferenta si pentru raportul lor,dar nu am gasit nimic! Ma puteti ajuta dvs., va rog?

Fixam valoarea A, care este fie +1, fie -1.
Scriem atunci

ln( 1 + A/n ) - ln( 1+ A/(n+1) )

sub forma de ln( 1 + x ) .
Folosim apoi faptul ca pentru x intre -1 si 1 putem incadra ln(1+x) intre doua polinoame de forma x + ?x² ...

Ultimii logarimi ii majoram cumva la fel.
Suntem insa destul de departe.

In primul rand vedem ca cu inegalitatea triunghiului
| A + B + ... + Z | este sub |A| + |B| + ... + |Z|
si cu cele de mai sus nu ne descurcam pentru a controla ceva de forma

| x(m) - x(n) |

de asa natura incat pentru m > n si n -> +oo sa avem "ceva mic".
Am iesit "afara din modul" poate prea repede.

Putem face cam aceleasi lucruri insa pentru m general?
(Nu numai pentru m = n+1...)

(Trebuie sa putem, daca avem convergentza.)

Hmmm...si daca solutia "oficiala" ar folosi tot teorema lui Cauchy, cum am putea face b)-ul? Banuiesc ca se bazeaza si pe ideile folosite la a)!