Sa se determine functiile continue f:R->R astfel incat:

f(x-y) + f(x+y) = 2( f(x)+f(y) )

oricare ar fi x,y reale.

Care e sursa problemei?

GM 4/2013,dar solutiile se primeau pana la 31 august.

Încerca?i s? ar?ta?i, prin analogie cu ecua?ia func?ional? a lui Cauchy, c? pentru

ra?ional avem

Folosind apoi continuitatea, ob?inem

Sa incercam acum impreuna.
Cum se demonstreaza cele de mai sus pentru orice n natural?
Apoi mai vedem.

(Astfel de probleme le rezolvam impreuna...)

Prin inductie matematica?

Presupun p(n): f(nx)=n*n*f(x) ,oricare ar fi n natural.

I Etapa de verificare: n=0 (A)
II Etapa de demonstrare: p(k)->p(k+1)
p(k): f(kx)=k*k*f(x)
p(k+1): f(kx+x)=(k+1)*(k+1)*f(x)

In prima ecuatie x:=kx si y:=x

=> f((k-1)x)+f((k+1)x)=2(f(kx)+f(x));

f((k+1)x)=f(x)(2k*k+2-(k-1)*(k-1))

f((k+1)x)=(k+1)(k+1)f(x) =>p(k+1)(A)

I,II=> p(n) (A)

Daca iau x=0 => f(-y)=f(y)=> f(ny)=n*n*f(y), oricare ar fi n intreg

[Citat] Prin inductie matematica? Presupun p(n): f(nx)=n*n*f(x) ,oricare ar fi n natural. I Etapa de verificare: n=0 (A) II Etapa de demonstrare: p(k)->p(k+1) p(k): f(kx)=k*k*f(x) p(k+1): f(kx+x)=(k+1)*(k+1)*f(x) In prima ecuatie x:=kx si y:=x => f((k-1)x)+f((k+1)x)=2(f(kx)+f(x)); f((k+1)x)=f(x)(2k*k+2-(k-1)*(k-1)) f((k+1)x)=(k+1)(k+1)f(x) =>p(k+1)(A) I,II=> p(n) (A)

Pentru a face demonstratia prin inductie matematica (completa), trebuie sa izolam un set de propozitii ( P(n) ), n numar natural mai intai.

Acest punct este important, arata daca s-a inteles sau nu (matematic si filozofic) ce vrea inductia de la om. Iata cum as pune eu pe hartie...

P(n) :
Pentru orice k (natural) de la 0 la n (inclusiv) si
... pentru orice x numar real
....... are loc relatia: f( kx ) = kk x .

Atunci etapa de verificare s-ar putea sa fie pentru cele doua valori, 0 si 1, daca cumva ne folosim de k si k-1... Exista cumva aceasta "delicatetze" la mijloc?

Pasul inductiv ar fi asa:
Fixam n natural arbitrar > 1.
Demonstram *implicatia* P(n) => P(n+1) . Pentru acest n fixat anume.
Ne uitam la tabela de adevar a lui "=>" (intr-o logica booleana).
Vedem ca singurul caz problematic este cel in care P(n) este o propozitie adevarata. Presupunem deci ca P(n) este o propozitie adevarata.
(Vrem sa aratam P(n+1).)

Fie deci k natural de la 0 la n+1.
Daca de fapt k este pana la n... am terminat deja.
Ramane cazul n = (n+1) .

De aici "calculul" este ca mai sus.

Cum trecem acum de la relatia de mai sus, adevarata pentru n in IN
-> de la IN la ZZ ,
-> apoi de la ZZ la numere rationale?

Problema (de fapt asemanatoare...se reducea oarecum la problema noastra) a mai fost discutata pe un domeniu ceva mai larg (decat Q)! Aceea a fost publicata (enuntul) in GMB nr 6-7-8/2012 (rezolvarea cam prin gazeta 2/2013).