Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

[Subiect nou]   [Răspunde]
[1] [2]  »   [Ultima pagină]
Autor Mesaj
npatrat
Grup: membru
Mesaje: 1592
29 Oct 2013, 16:43

[Trimite mesaj privat]



gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
22 Oct 2013, 22:01

[Trimite mesaj privat]


[Citat]


Problema se poate reformula:



Constructia de puncte (?noi?) din puncte P,Q de pe curba este "simpla".
Fie P, Q "pe" E. (I.e. coordonatele lor verifica ecuatia lui E.)
Dreapta prin P,Q mai taie E in exact inca un punct (eliminare si Bezout). Trebuie sa tinem cont de multiplicitati. (Daca de exemplu P = Q sau daca PQ este tangenta in P sau Q la E.) sa notam acest punct cu R'.
Fie O punctul de la infinit, de fapt geometria algebrica se face pe curba cu ecuatia homogenizata,

2 xxx + 9 zzz = yy z .

si desigur ca punctul [ 0 : 1 : 0 ] = [ x0 : y0 : z0 ] este pe aceasta curba.

Asociem R = punctul de taiere al dreptei OR' cu E.
Atunci se poate arata ca multimea punctelor rationale cu operatia

P (+) Q = R

definita mai sus formeaza un grup abelian.
Exista o teroie a "inaltimii" (heights) care spune cat de complicat este un punct pe E...

Iata cum stau lucrurile la noi.
Folosesc pari/gp.
E bine sa aducem mai intai curba data la forma canonica

Y² = X³ + aX + B .

Pentru aceasta inmultesc ecuatia data cu 2^2 = 4, grupam X = 2x, Y = 2Y, dam de

YY = XXX + 36 .

Am descoperit cu ochiul liber relatia 100 = 64 + 36 . Deci ne asteptam ca punctul (X,Y) = (4,10) sa fie pe curba. sa vedem inca cateva puncte obtinute adunand...


(20:41) gp > E = ellinit( [ 0, 0, 0, 0, 36 ] );
(20:41) gp > elltors( E )
%14 = [3, [3], [[0, 6]]]
(20:41) gp > P = [4,10]
%15 = [4, 10]
(20:42) gp > Q = P;
(20:42) gp > for( k=1, 5, print( k, " * P = ", Q); Q = elladd( E, P, Q ) )
1 * P = [4, 10]
2 * P = [-56/25, 622/125]
3 * P = [-1691/1521, -349055/59319]
4 * P = [16364656/2418025, -69938890946/3760028875]
5 * P = [176709507004/1840495801, 74284585633987550/78959110358701]


M-am mai uitat putin si am descoperit si punctul care vine din 9 = -27 + 36.

(20:49) gp > P = [-3,3]
%22 = [-3, 3]
(20:49) gp > ellisoncurve( E, P )
%23 = 1
(20:49) gp > Q = P
%24 = [-3, 3]
(20:49) gp > for( k=1, 5, print( k, " * P = ", Q); Q = elladd( E, P, Q ) )
1 * P = [-3, 3]
2 * P = [105/4, -1077/8]
3 * P = [-1691/1521, 349055/59319]
4 * P = [13290585/2062096, -51607279011/2961169856]
5 * P = [34155073437/27711927961, 28389693607666563/4613176935739709]


Am plecat mai bine cu P = [-3,3] ...
De fapt, tabela din primul link mi-l da pe acesta a fi generatorul...

Mai sus, n * P = ( P + P + ... + P ) unde adunam de n ori pe partea dreapta.

Am cerut grupul de torsiune undeva mai sus. elltors...
Mi s-a spus ca are trei elemente, este deci
ZZ / 3ZZ
si este generat de [0,6] .

Desigur ca putem sa ne legam de [-3,3] (+) [0,6] .
Care este acest punct? (Rog a se face calculul...)


A se vedea si:
http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/972.a2 -- exact curba noastra
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
http://www.math.brown.edu/~jhs/Presentations/WyomingEllipticCurve.pdf
http://www.jmilne.org/math/Books/ectext5.pdf -- cel mai bun loc de invatat despre curbe eliptice.
http://ivanych.net/doc/TheArithmeticOfEllipticCurves.pdf -- celalat cel mai bun loc de invatat...








---
df (gauss)
gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
22 Oct 2013, 22:09

[Trimite mesaj privat]


Pentru problema data, punctul (X,Y) = (4,10) este ceva mai bun,
el corespunde lui (x,y) = (2,5).

Problema vrea probabil de la noi sa construim sirul dat recursiv de

x1 = 2
y1 = 5

si sa facem operatiile pe curba (de la un pas la altul "adunam" (2,5) )
pentru a da de noul punct

x(n+1) = ?? in functie de x(n)
y(n+1) = ?? in functie de y(n)

Care sunt mai intai formulele?
Macar pe functia care pleaca de la x(n) si gaseste x(n+1) ...


---
df (gauss)
npatrat
Grup: membru
Mesaje: 1592
23 Oct 2013, 17:37

[Trimite mesaj privat]


Din pacate, nu prea am inteles ce ati scris mai sus ,deci nu stiu sa scriu pe x(n+1) in functie de x(n)!

gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
23 Oct 2013, 19:51

[Trimite mesaj privat]


Propun atunci sa facem lucrurile pas cu pas.
Ne uitam la "curba eliptica" E, care este "ecuatia"

2 xxx + 9 = yy .

Ne intereseaza solutiile din Q (corpul numerelor rationale) ale ecuatiei.
Multimea solutiilor se noteaza in mod standard cu
E(Q) .

Vrem sa aratam ca multimea punctelor este infinita.
Sa gasim atunci un punct.
Prin incercari gasim destul de repede punctul

P(2,5)

el verifica deoarece 16 + 9 = 25 .
Facem urmatoarea constructie.
Ducem (in plan ul xOy, cel in care "traieste ecuatia E",) tangenta prin P la curba E.
Care este "celalalt punct" in care aceasta tangenta taie E?


---
df (gauss)
npatrat
Grup: membru
Mesaje: 1592
24 Oct 2013, 15:13

[Trimite mesaj privat]


Din pacate, situatia ma cam depaseste ! Nu prea stiu cum sta treaba cu, curbele eliptice! Ati putea, va rog, sa-mi dati dvs. relatiile de recurenta? (in cazul in care nu se poate explica mai usor pasii pt aflarea lor!) Asta asa, pana o sa studiez culegerile recomandate de dvs. despre curbe eliptice!

gauss
Grup: Administrator
Mesaje: 6933
24 Oct 2013, 19:22

[Trimite mesaj privat]


Nu trebuie sa stim nimic din curbele eliptice.
Situatia este importanta de ambele parti.
(Curbele eliptice sunt un lucru important, trebuie facuti insa cativa pasi pentru a vedea care le e frumusetea si de ce sunt asa de importante. Mai departe nu vrem decat sa facem cativa pasi.)





---
df (gauss)
npatrat
Grup: membru
Mesaje: 1592
25 Oct 2013, 19:42

[Trimite mesaj privat]



enescu
Grup: moderator
Mesaje: 3403
25 Oct 2013, 22:41

[Trimite mesaj privat]


[Citat]


De fapt, este

enescu
Grup: moderator
Mesaje: 3403
25 Oct 2013, 22:53

[Trimite mesaj privat]



npatrat
Grup: membru
Mesaje: 1592
26 Oct 2013, 11:00

[Trimite mesaj privat]


[Citat]

Multumesc! Aceste relatii de recurenta le-ati dedus folosind ce a zis dl. Gauss mai sus?

[1] [2]  »   [Ultima pagină]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47559 membri, 58582 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ