[Citat]

Problema se poate reformula:

Constructia de puncte (?noi?) din puncte P,Q de pe curba este "simpla".
Fie P, Q "pe" E. (I.e. coordonatele lor verifica ecuatia lui E.)
Dreapta prin P,Q mai taie E in exact inca un punct (eliminare si Bezout). Trebuie sa tinem cont de multiplicitati. (Daca de exemplu P = Q sau daca PQ este tangenta in P sau Q la E.) sa notam acest punct cu R'.
Fie O punctul de la infinit, de fapt geometria algebrica se face pe curba cu ecuatia homogenizata,

2 xxx + 9 zzz = yy z .

si desigur ca punctul [ 0 : 1 : 0 ] = [ x0 : y0 : z0 ] este pe aceasta curba.

Asociem R = punctul de taiere al dreptei OR' cu E.
Atunci se poate arata ca multimea punctelor rationale cu operatia

P (+) Q = R

definita mai sus formeaza un grup abelian.
Exista o teroie a "inaltimii" (heights) care spune cat de complicat este un punct pe E...

Iata cum stau lucrurile la noi.
Folosesc pari/gp.
E bine sa aducem mai intai curba data la forma canonica

Y² = X³ + aX + B .

Pentru aceasta inmultesc ecuatia data cu 2^2 = 4, grupam X = 2x, Y = 2Y, dam de

YY = XXX + 36 .

Am descoperit cu ochiul liber relatia 100 = 64 + 36 . Deci ne asteptam ca punctul (X,Y) = (4,10) sa fie pe curba. sa vedem inca cateva puncte obtinute adunand...


(20:41) gp > E = ellinit( [ 0, 0, 0, 0, 36 ] );
(20:41) gp > elltors( E )
%14 = [3, [3], [[0, 6]]]
(20:41) gp > P = [4,10]
%15 = [4, 10]
(20:42) gp > Q = P;
(20:42) gp > for( k=1, 5, print( k, " * P = ", Q); Q = elladd( E, P, Q ) )
1 * P = [4, 10]
2 * P = [-56/25, 622/125]
3 * P = [-1691/1521, -349055/59319]
4 * P = [16364656/2418025, -69938890946/3760028875]
5 * P = [176709507004/1840495801, 74284585633987550/78959110358701]


M-am mai uitat putin si am descoperit si punctul care vine din 9 = -27 + 36.

(20:49) gp > P = [-3,3]
%22 = [-3, 3]
(20:49) gp > ellisoncurve( E, P )
%23 = 1
(20:49) gp > Q = P
%24 = [-3, 3]
(20:49) gp > for( k=1, 5, print( k, " * P = ", Q); Q = elladd( E, P, Q ) )
1 * P = [-3, 3]
2 * P = [105/4, -1077/8]
3 * P = [-1691/1521, 349055/59319]
4 * P = [13290585/2062096, -51607279011/2961169856]
5 * P = [34155073437/27711927961, 28389693607666563/4613176935739709]


Am plecat mai bine cu P = [-3,3] ...
De fapt, tabela din primul link mi-l da pe acesta a fi generatorul...

Mai sus, n * P = ( P + P + ... + P ) unde adunam de n ori pe partea dreapta.

Am cerut grupul de torsiune undeva mai sus. elltors...
Mi s-a spus ca are trei elemente, este deci
ZZ / 3ZZ
si este generat de [0,6] .

Desigur ca putem sa ne legam de [-3,3] (+) [0,6] .
Care este acest punct? (Rog a se face calculul...)


A se vedea si:
http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/972.a2 -- exact curba noastra
http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
http://www.math.brown.edu/~jhs/Presentations/WyomingEllipticCurve.pdf
http://www.jmilne.org/math/Books/ectext5.pdf -- cel mai bun loc de invatat despre curbe eliptice.
http://ivanych.net/doc/TheArithmeticOfEllipticCurves.pdf -- celalat cel mai bun loc de invatat...

Pentru problema data, punctul (X,Y) = (4,10) este ceva mai bun,
el corespunde lui (x,y) = (2,5).

Problema vrea probabil de la noi sa construim sirul dat recursiv de

x1 = 2
y1 = 5

si sa facem operatiile pe curba (de la un pas la altul "adunam" (2,5) )
pentru a da de noul punct

x(n+1) = ?? in functie de x(n)
y(n+1) = ?? in functie de y(n)

Care sunt mai intai formulele?
Macar pe functia care pleaca de la x(n) si gaseste x(n+1) ...

Din pacate, nu prea am inteles ce ati scris mai sus ,deci nu stiu sa scriu pe x(n+1) in functie de x(n)!

Propun atunci sa facem lucrurile pas cu pas.
Ne uitam la "curba eliptica" E, care este "ecuatia"

2 xxx + 9 = yy .

Ne intereseaza solutiile din Q (corpul numerelor rationale) ale ecuatiei.
Multimea solutiilor se noteaza in mod standard cu
E(Q) .

Vrem sa aratam ca multimea punctelor este infinita.
Sa gasim atunci un punct.
Prin incercari gasim destul de repede punctul

P(2,5)

el verifica deoarece 16 + 9 = 25 .
Facem urmatoarea constructie.
Ducem (in plan ul xOy, cel in care "traieste ecuatia E",) tangenta prin P la curba E.
Care este "celalalt punct" in care aceasta tangenta taie E?

Din pacate, situatia ma cam depaseste ! Nu prea stiu cum sta treaba cu, curbele eliptice! Ati putea, va rog, sa-mi dati dvs. relatiile de recurenta? (in cazul in care nu se poate explica mai usor pasii pt aflarea lor!) Asta asa, pana o sa studiez culegerile recomandate de dvs. despre curbe eliptice!

Nu trebuie sa stim nimic din curbele eliptice.
Situatia este importanta de ambele parti.
(Curbele eliptice sunt un lucru important, trebuie facuti insa cativa pasi pentru a vedea care le e frumusetea si de ce sunt asa de importante. Mai departe nu vrem decat sa facem cativa pasi.)

[Citat]

De fapt, este

[Citat]

Multumesc! Aceste relatii de recurenta le-ati dedus folosind ce a zis dl. Gauss mai sus?