Da, e bine.

Multumesc!

M-am mai uitat peste definitia continuitatii (cu diferite ocazii) si am vazut ca f e continua in x daca si numai daca pentru ORICE sir (y_n)->x avem lim(y_n)=x. La noi in problema am zis ca pentru orice sir (y_n)->x cu numere irationale (bine, putem accepta si un numar finit de numere rationale), dar acel ORICE (de mai sus) ar trebui sa includa si sirurile (sa zicem) cu toate numerele rationale (y_n)! De ce e corecta rezolvarea mea? (Ce intrebari mai pun si eu! ) )

Bine, atunci nu e corecta.
Problema in sine m-a enervat si mi-e greu sa spun in ce punct lipseste ce.

Poate ca cea mai simpla solutie este de la definitie.
Ne luam un punct a si vrem sa aratam ca functia este continua in a.

.. Fie epsilon > 0 .
.... Luam delta(epsilon) = epsilon/3 si aratam ca "e bun" in sensul definitiei.
...... Fie x la distantza mai mica de delta(epsilon) fatza de a.
...... Daca x si a nu sunt in acelasi timp i/rationale avem | f(x)-f(a) | sub |x-a| . Gata.
...... Daca x si a sunt in acelasi timp i/rationale, luam un y *intre* ele de "cealalta culoare". Avem | f(x)-f(a) | sub | f(x)-f(y) | + | f(y)-f(a)| sub |x-y| + |y-a| = |x-a| . (La ultimul pas am folosit faptul ca y se afla intre a si x, deci cele doua module vin din numere de acelasi semn.) Gata.

Mi-a fost mai usor sa dau aceasta solutie, decat sa caut modul de a obloji cu siruri.

Nota:
Exercitiul este unul "pur intelectual", nu face altceva decat sa ne irite pe cazuri tot asa cum aveam neplaceri pe clasa a IX-a cu functii definite pe cazuri. Nu aduce nimic nou in intelegerea continuitatii.

Multumesc!