Buna seara
Va rog sa ma ajutati sa rezolv si eu urmatoarele probleme:
Sa aratam ca:
1) 10^n + 18n -28 se divide cu 27
2)7^2n - 1 se divide cu 48
3)9^(n+1) -8n -9 se divide cu 1
Probabil ca se rezolva prin inductie dar nu stiu cum multumesc mult de tot

[Citat] Sa aratam ca: 1) 10^n + 18n - 28 se divide cu 27 2) 7^(2n) - 1 se divide cu 48 3) 9^(n+1) - 8n - 9 se divide cu 1

(9+1)^n se desface (pentru n mai mare sau egal cu 1) folosind formula binomiala.
Ori de cate ori il ridicam intr-un termen binomial pe 9 la o putere mai mare sau egala cu 2 nu avem probleme cu divizibilitatea cu 27.
Care termeni raman?

7^(2n) = (7^2)^n = 49^n = (48+1)^n .
Formula binominala termina problema.
Dar si inductia.

nu va suparati dar nu am inteles
puteti fi mai explicit? adica sa duceti exercitiul pana la capat?nu inteleg acea distributie binomiala cum se aplica?mulumesc mult

Scuze mai fac o corectare:la ultimul exercitiu:
sa aratam ca 9^(n+1)-8n -9 se divide cu 16 nu cu 1.

[Citat] nu va suparati dar nu am inteles puteti fi mai explicit? adica sa duceti exercitiul pana la capat?nu inteleg acea distributie binomiala cum se aplica?mulumesc mult

De suparare nu poate fi sub nici o forma vorba.
Inapoi la formula binomiala.
Dam doua numere (intregi sau reale, pentru formula nu conteaza) a si b.
Avem o formula explicita pentru

(a+b)²
(a+b)³

care se generalizeaza la o formula pentru puterea a n-a.
http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem
http://ro.wikipedia.org/wiki/Binomul_lui_Newton
Formula rezolva imediat problemele date.

Chiar daca formula nu este cunoscuta, sa incercam cu "mana".
Ne uitam la produsul
(9+1)(9+1)...(9+1)
care are n factori. Desfacem parantezele, cu alte cuvinte inmultim "fiecare cu fiecare cu ... cu fiecare". Insa ori de cate ori luam doi factori de 9, deja am castigat modulo 27. Putem rationa din aproape in aproape daca este nevoie.
Ma opresc aici cu o intrebare: Care produse de "fiecare cu..." nu sunt din start divizibile cu 27?

Nota: O formula care este de asemenea utila pentru exercitiu este urmatoarea:

Mai sus n este un numar natural de la 1 (din partea mea de la zero) inainte.
Cel mai bine este daca scriem formulele pentru n=1 si n=2 pentru inceput.
In ultima paranteza avem suma tuturor monoamelor in x, y care au grad n, le-am scris in ordinea descrescatoare a gradului lui x.

Aceasta formula se poate demonstra prin inductie.
Este clar cum se foloseste pentru a arata ca 49^n - 1 ... ?!

[Citat] Scuze mai fac o corectare: la ultimul exercitiu: sa aratam ca 9^(n+1) - 8n - 9 se divide cu 16.

In acest caz scriem 9-le din 9^(n+1) drept
9 = 8 + 1
si procedam ca la (1). Sa intelegem de aceea primul punct mai intai.

Da dar rugamintea mea era sa scrieti(daca se poate)exercitiul rezolvat de la inceput pana la sfarsit pentru a intelege rezolvarea sa.
Numai asa urmarind rezolvarea pot sa imi dau seama cum ati rezolvat Dvs exercitiul (daca nu cer prea mult).

Eu as zice asa:
1)

n poate fi de forma

Pentru

,

Pentru

,

.
Pentru

,

.
2)

3)

Daca

atunci

.
Daca

avem

Si eu am pus o intrebare:

[Citat] Ma opresc aici cu o intrebare: Care produse de "fiecare cu..." nu sunt din start divizibile cu 27?

Incercarea de a raspunde la ea ar fi fost dovada faptului ca nu am tiparit degeaba.

Solutiile ar fi la nivel de a X-a asa.
(Tiparirea lor in Latex mai ia cateva minute...)

Multumesc pentru evitarea oricarei propozitii cu continut matematic din postare si pentru evitarea efortului de a incerca sa se inteleaga ceva pe drum. In acest mod "ceilalti" au o sansa maxima sa isi arate ceea ce stiu. (Si eventual sa faca ei greseli de tot felul.)

Acum nu stim la ce nivel se doreste rezolvarea(s-ar parea ca la nivel de liceu,vorbeste ceva de inductie...).Noi am prezentat doua moduri de rezolvare(gimnaziu+liceu).Cel in cauza va decide care rezolvare i se potriveste mai bine...