S? se rezolve în

sistemul de ecua?ii:

Sa notam pentru simplitate cu s permutarea ciclica
s = (132) .
(Ea trimite deci 1 -> 3 -> 2 -> 1 )
Atunci compunerea ss (a lui s cu s) este
ss = (123)
(De exemplu, din 1 facem in doi s-pasi rost de ss(1) = s(s(1)) = s(3) = 2.)

Sistemul de ecuatii dat se rescrie:

s x = y
x ss = s y

Luam prima ecuatie si o inseram (ca substitutie) in a doua.
Dam de

x ss = s s x

De aici rezulta ca ss = (123) comuta cu x .
Exista trei permutari care comuta (123), cele trei sunt
e, s, ss.
(Nici o transpozitie nu comuta cu ss.)

Dam de trei solutii.

P.S. Solutia bruta ar fi sa luam toate permutarile la rand pe post de x, sunt doar sase cazuri, dam de cate un y din prima ecuatie, ramane sa o verificam pe a doua. Aceasta este de fapt si solutia cu computerul:

sage: S = SymmetricGroup(3)
sage: S.list()
[(), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3)]
sage: s = S( (1,3,2) )
sage: s
(1,3,2)
sage: s^2
(1,2,3)
sage: s^3
()
sage: for x in S:
....: print x
....:
()
(2,3)
(1,2)
(1,2,3)
(1,3,2)
(1,3)
sage: for x in S:
....: y = s * x
....: if x*s*s == s*y:
....: print "x = %s , y = %s" % (x,y)
....:
x = () , y = (1,3,2)
x = (1,2,3) , y = ()
x = (1,3,2) , y = (1,2,3)
sage:


Eu tot recomand oamenilor sa isi instaleze acest sage... (pentru a putea face mai bine matematica...)

Exact asta este problema, faptul c? sistemul are 3 solu?ii!!!
Dac? înlocuiesc y din prima ecua?ie în cea dea doua ecua?ie ob?in:

Membrul stâng

Membrul drept:

Discu?ie:

.

, ceea ce este fals.

, ceea ce este fals.
În concluzie am g?sit doar o solu?ie din cele 3 pe care le are sistemul!
Care este deficien?a metodei folosite de nu pot s? ob?in cele 3 solu?ii?
Ce metod? pot folosi care s?-mi dea toate cele 3 solu?ii ?
P. S. V? rog dac? se poate solu?ia s? fie la nivelul la care se studiaz? permut?rile în clasa a 11 a, mai exact 6 ore în care trebuie s? predai no?iunile teoretice ?i s? faci aplica?ii. Cu respect!

[Citat] Discu?ie: . , ceea ce este fals. , ceea ce este fals. În concluzie am g?sit doar o solu?ie din cele 3 pe care le are sistemul! Care este deficien?a metodei folosite de nu pot s? ob?in cele 3 solu?ii? Ce metod? pot folosi care s?-mi dea toate cele 3 solu?ii ?

Deficien?a e c? la discu?ie, în cazurile 2 ?i 3 gre?i?i calculul.

Pute?i s? reface?i dumneavoastr? discu?ia pentru cazurile în spe??, v? rog frumos!

[Citat] Pute?i s? reface?i dumneavoastr? discu?ia pentru cazurile în spe??, v? rog frumos!

Nu discu?ia e problema, ci calculul. Revede?i lec?ia despre compunerea permut?rilor.

Dac? înlocuim y din prima ecua?ie în cea dea doua ecua?ie a sistemului ob?inem:

Discu?ie:

, ceea ce este fals;

;

, ceea ce este fals.
În concluzie am g?sit doar o solu?ie din cele 3 pe care le are sistemul!

Mai sus avem pana la urma asa:

x s = s x

unde s este permutarea ciclica (123), deci x(1) = 2, x(2) = 3, x(3) = 1.

Sa testam acum egalitatea ceruta pe cele trei numere 1,2,3. Dam de
xs(1) = sx(1)
xs(2) = sx(2)
xs(3) = sx(3).

Am scris de exemplu xs(1) in loc de (xs)(1) si/sau (si mai urat) x(s(1)).
Deci

x(2) = sx(1)
x(3) = sx(2)
x(1) = sx(3).

Cazul (A) : x(1) = 1.
Atunci x(2) = sx(1) = s(1) = 2.
Atunci x(3) = sx(2) = s(2) = 3.
Deci x = e = () .

Cazul (B) : x(1) = 2.
Atunci x(2) = sx(1) = s(2) = 3.
Atunci x(3) = sx(2) = s(3) = 1.
Deci x = (123) = s.

Cazul (C) : x(1) = 3.
Atunci x(2) = sx(1) = s(3) = 1.
Atunci x(3) = sx(2) = s(1) = 2.
Deci x = (132) = ss.

N.B. Daca se vad clar solutiile pe cazurile in care nu se gasesc solutiile, cel mai simplu mod de verificare si cautare a greselii este de a inlocui solutia gasita (cu calculatorul, de aceea ii rog pe oameni sa invete sa caute si fara gandire, pentru a reusi sa testeze propria gandire...) in rationamentul scris. Daca rationamentul nu merge pe un exemplu dat intr-un rand, greseala se gaseste imediat.

Mul?umesc mult pentru consiliere!
Enun?: S? se rezolve în

sistemul de ecua?ii:

Folosind re?eta dumneavoastr? am g?sit pentru sistemul din

dou? solu?ii:

Sunt curios ce spune ,,Sage"! Cu respect!

[Citat] Sunt curios ce spune ,,Sage"! Cu respect!

Probabil c? o s? spun? c? a?i "sc?pat" dou? solu?ii (dintre care una evident?, când x este permutarea identic?).

Am avut probleme cu operatia de inmultire pe S(4).
sage se pare ca este educat sa vada grupul de permutari actionand din "cealalta parte" pe 1,2,3,4...