Buna ziua
Am si eu urmatoarele probleme:
Sa se determine in plan multimea punctelor de afix Z pentru care:
a)modul de(z+3) = modul de (z-5)
b)modul de (z + 2 + 3i) = modul de (z + i)
c)modul de (z + 1) = modul de (z - 3) = modul de (z + 4i)
Rugamintea mea mare este daca se pot si explica aceste reprezntari grafice
Daca sant prea multe va rog sa fie rezolvate doar o parte din ele sa le inteleg.
Multumesc mult

[Citat] Sa se determine in plan multimea punctelor de afix z pentru care: (a)_| z+3 | = | z-5 |

| z+3 |

se poate scrie

| z - (-3) |

si in aceasta rescriere vedem ca avem distantza de la z la (-3) .
Problema se reformuleaza analitic / geometric astfel:

Care puncte din plan au distantze egale la punctele (numere complexe) -3 si 5.
(Deci la punctele (-3, 0) si (5,0).)

Mediatoarea segmentului, desigur.
Probabil ca solutia la care se asteapta cel ce a pus problema este analitica.
Si acest mod de rezolvare este interesant.
Se cauta atunci z de forma
z = x + iy (x,y reale)
pentru care echivalent:

| z+3 |² = | z-5 |²

Se inlocuieste, se calculeaza modulele in dependentza de x,y, partea "patratica" (in x,y) se reduce in mod preprogramat, dam de ceva liniar...

Celelalte (cam) la fel.

Am inteles foarte bine primul caz
Dar pentrui cazul 2 am facut asa:
prima distanta este egala cu -2 - 3i
a doua distanta este egala cu -i
am reprezentat grafic punctele A(-2 si -3i) respectiv B(-i)
Probabbil ca asa cum am inteles de la Dvs multimea punctelor se afla pe mediatoarea segmentului AB
Dar care este ecuatia acestei mediatoare?o fi bine?
Scuze pentru insistenta!

Imi cr scuze!am dezlegat misterul
scriem ecuatia unei perpendiculare care trece prin mijlocul lui AB(mediatoarea)
Oricum sa stiti ca nu am gasit an nici o carte o explicatie mai clara decat a Dvs.multumesc!

Putem gasi ecuatia mediatoarei si in mod "cinstit" (adica direct) prin metode algebrice plecand de la ecuatia:

(*) | z + 2 + 3i |² = | z + i |²

in care punem z = x + iy,
x,y reale.

(*) devine atunci pe rand echivalent:

(*1) | (x+2) + i(y+3) |² = | x + i(y+1) |²

(*2) (x+2)^2 + (y+3)^2 = x^2 + (y+1)^2

(*3) 4x + 4 + 6y + 9 = 2y + 1

(*4) 4x + 4y + 12 = 0

(*5) x + y + 3 = 0 .


Ne asteptam ca aceasta dreapta sa treaca prin mijlocul segmentului
AB : de la (-2,-3) la (0,-1) care este (-1, -2). Da, trece.
Panta segmentului AB este (-1+3) : (0+2) = 2 : 2 = 1 = unu .
Panta unei drepte perpendiculare este -1 / ( acest unu gasit ), deci -1, da, exact ce vedem daca rescriem: y = -x -3 .

As mai avea o problema nu mi se pare dificila dar nu stiu cum se face:
Sa se determine al treilea varf al unui triunghi echilateral dac a doua varfuri au afixele 1 + i si 3 + 2i
daca scriu expresia celor trei distante si le egalez intre ele de forma radical din((x2-x1)^2 + (y2 -y1)^2) imi dsa niste expresii complicate.Cum s-ar putea rezolva?multumesc

nu am inteles prea bine in explicatia a doua trimisa de Dvs de unde a rezultat prima ecuatie de plecare(cea cu steluta)?

Relatia data:
| z + 2 + 3i | = | z + i |

este echivalenta cu

(*) | z + 2 + 3i |² = | z + i |²

deoarece modulul unui numar complex este un numar real mai mare sau egal cu zero.
(Am ridicat la patrat.)
Asta era problema?

[Citat] As mai avea o problema nu mi se pare dificila dar nu stiu cum se face: Sa se determine al treilea varf al unui triunghi echilateral daca doua varfuri au afixele z si w .

Sa zicem ca aplicam planului o translatie care il duce pe z in ZERO (Origine, O = 0). Unde se va duce w ?

dada o relatie evidenta sigur.
As mai fi avut problema aceea cu triunghiul echilateral daca ete timp bineinteles multumesc mult

[Citat] As mai fi avut problema aceea cu triunghiul echilateral

Am reformulat problema mai sus, luand doua numere arbitrare,
z si w,
in loc de cele speciale date.

Mai sus am incercat sa intreb ceva legat de primul pas.
In principiu, cei cativa pasi sunt:
- se transleaza simultan z, w incat sa dam de numerele z'=0, w'.
- se roteste w' asa sau asa cu 60°, dam de un nou punct u'.
- se transleaza "la loc" z'=0, w', u' incat sa dam de punctele z, w, u. Desigur ca u este punctul cautat.

Deci cine este w' mai intai?

Nota: Exista desigur si o solutie in care scriem ecuatii si le rezolvam orb, ca si cand vrem sa ignoram complet geometria. Nu o recomand, dar o vom face si pe asta...